Divergence (operátor): Porovnání verzí

{{Různé významy|tento=[[operátor]]u v [[matematika|matematice]]}}

Ve [[vektorový počet|vektorovém počtu]] je '''divergence''' [[diferenciální počet|diferenciální]] [[operátor]] udávající '''zřídlovost''' [[vektorové pole|vektorového pole]]. Je-li např. zkoumaným polem [[gradient]] [[teplota|teploty]] ([[vektor]]y nechť udávají např. [[rychlost]] [[vedení tepla]]), potom kladná divergence v daném bodě znamená, že v daném bodě vzniká [[teplo]], záporná naopak, že v daném místě teplo zaniká.

 

 

== Definice ==

Jsou-li ''x, y, z'' [[kartézské souřadnice]] v [[3D|3-rozměrném]] [[Eukleidovský prostor|Eukleidovském prostoru]], a '''e'''_x, '''e'''_y, '''e'''_z je odpovídající [[Báze (algebra)|báze]] [[jednotkový vektor|jednotkových vektorů]], a

:<math>\mathbf{F} = F_x \mathbf{e}_x+F_y \mathbf{e}_y+F_z \mathbf{e}_z</math>

je [[spojitá funkce|spojitě]] diferencovatelné [[vektorové pole]], potom jeho divergenci definujeme jako [[skalár|skalární]] veličinu

:<math>\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}

=\frac{\partial F_x}{\partial x}

+\frac{\partial F_y}{\partial y}

+\frac{\partial F_z}{\partial z}. </math>

Přestože je '''divergence''' definována v [[kartézské souřadnice|kartézských souřadnicích]], jde o [[invariance|invariantní veličinu]], která nabývá stejných hodnot ve všech [[soustava souřadnic|souřadných soustavách]].

 

[[Operátor]] divergence bývá také zapisován jako

:<math>\mathrm{div} = \nabla \cdot</math>

 

[[parciální derivace|Derivací]] [[tenzor]]u '''T''' ''n''-tého řádu dostaneme tenzor řádu ''n''+1 se složkami <math>\frac{\part \mathbf{T}_{ij\cdots rs}}{\part x_t}</math>. [[kontrakce tenzoru|Kontrakcí]] indexu ''t'' proti indexu ''s'' získáme ''divergenci tenzoru'' '''T''', což je tenzor řádu ''n''-1.

:<math>\mathbf{D}_{ij\cdots r} = \frac{\part \mathbf{T}_{ij\cdots rs}}{\part x_s}</math>

Divergence tedy snižuje řád tenzoru o 1, např. divergencí vektoru získáme skalár.

 

== Vlastnosti ==

Označíme-li '''F''', '''G''' [[vektorové pole|vektorová pole]], ''f'' [[skalární pole]], ''a'',''b'' [[reálné číslo|reálná čísla]], potom operátor divergence splňuje následující identity:

Je [[Lineární operátor|lineární]] vůči [[reálné číslo|reálným číslům]]

:<math>\nabla\cdot( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} )

= a\;\nabla\cdot \mathbf{F}

+ b\;\nabla\cdot \mathbf{G}, </math>

aplikována na [[součin]] [[Funkce (matematika)|funkce]] a [[vektorové pole|vektorového pole]] splňuje identitu

:<math>\nabla\cdot(f \mathbf{F})

= \nabla f \cdot \mathbf{F}

= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G}

- \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}) = (\mathrm{rot}\,\mathbf{F})\cdot \mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\mathrm{rot}\,\mathbf{G})</math>,

kde ∇ × '''F''' je [[rotace (operátor)|rotace]] '''F'''.

 

 

== Vyjádření v různých soustavách souřadnic ==

Následující vztahy udávají vyjádření '''divergence''' v nejrůznějších [[soustava souřadnic|souřadných soustavách]] v trojrozměrném prostoru. Je-li ''F'' [[vektorové pole]] v&nbsp;daných souřadnicích, pak platí

 

Ve [[válcová soustava souřadnic|válcových souřadnicích]]:

:<math>\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r}{\partial ( r F_r ) \over \partial r}

+ {1 \over r}{\partial F_\varphi \over \partial \varphi}

 

Ve [[Sférická soustava souřadnic|sférických souřadnicích]]:

:<math>\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r^2}{\partial ( r^2 F_r ) \over \partial r}

+ {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} ( F_\theta\sin\theta )

 

Používáme-li obecně [[ortogonální souřadnice]] ''x''₁,''x''₂,''x''₃, jejíž [[Laméovy koeficienty]] jsou po řadě ''h''₁,''h''₂,''h''₃

:<math>\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left(

\frac{\partial \left(h_2 h_3 F_1\right)}{\partial x_1} +

 

Ve zcela [[obecné souřadnice|obecných souřadnicích]] (viz také [[Souřadnicový zápis vektorů]]) pro složky vektoru divergence platí

: <math>\nabla_{\underline{m}} \left({F}^k \frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^k} \right) =

{F^k}_{;k} = {F^k}_{,k} + {\Gamma^{i}}_{ij}{F^j}</math>