Verze z 11. 3. 2014, 15:34 editovat Knuck (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé 5 702 editací m - {{Ve výstavbě}} ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 11. 3. 2015, 15:53 editovat zrušit editaci 212.96.177.50 (diskuse) d neni kurzivou značka: editace z Vizuálního editoru Přejít na další porovnání →
Řádek 9: Základní myšlenkou je najít určitou funkci <math>M(x)</math> nazývanou „integrační faktor“, kterou můžeme násobit pomocí naší [[diferenciální rovnice]], abychom dostali levou stranu pod společnou derivaci. Pro kanonické [[diferenciální rovnice#Lineární a nelineární\|lineární diferenciální rovnice]] prvního řádu ukázané výše, zvolíme integrační faktor tak, aby :<math>M(x) = e^{\int_{s_0}^{x} P(s) ds\mathrm{d}s}</math> Vidíme, že znásobením výrazem <math>M(x)</math> dává :<math>y' e^{\int_{s_0}^{x} P(s) ds\mathrm{d}s} + P(x) y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) ds\mathrm{d}s} = Q(x)e^{\int_{s_0}^{x} P(s) ds\mathrm{d}s} </math> Použitím [[součinové pravidlo\|součinového pravidla]] v opačném směru, vidíme, že levou stranu můžeme vyjádřit jako jedinou derivace podle <math>x</math> :<math>y' e^{\int_{s_0}^{x} P(s) ds\mathrm{d}s} + P(x) y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) ds\mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}}{dx\mathrm{d}x}(y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) ds\mathrm{d}s})</math> Použijeme tento fakt pro zjednodušení našeho výrazu na :<math>\frac{\mathrm{d}}{dx\mathrm{d}x}(y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) ds\mathrm{d}s}) = Q(x) e^{\int_{s_0}^{x} P(s) ds\mathrm{d}s} </math> Pak integrujeme obě strany vzhledem k <math>x</math>, přičemž nejdříve přejmenujeme <math>x</math> na <math>t</math>, takže dostaneme :<math>y e^{\int_{s_0}^{x} P(s) ds\mathrm{d}s} = \int_{t_0}^{x} Q(t) e^{\int_{s_0}^{t} P(s) ds\mathrm{d}s} dt\,\mathrm{d}t + C</math> Nakonec můžeme přesunout exponenciální funkce na pravou stranu, abychom našli obecné řešení naší [[obyčejná diferenciální rovnice\|obyčejné diferenciální rovnice]]: :<math>y = e^{- \int_{s_0}^{x} P(s) ds\mathrm{d}s} \int_{t_0}^x Q(t) e^{\int_{s_0}^{t} P(s) ds\mathrm{d}s}\, dt\mathrm{d}t + Ce^{- \int_{s_0}^{x} P(s) ds\mathrm{d}s}</math> V případě [[homogenní diferenciální rovnice]], ve které <math>Q(x) = 0</math>, dostáváme :<math> y = \frac{C}{e^{\int_{s_0}^{x} P(s) ds\mathrm{d}s}}</math> kde <math>C</math> je konstanta. Řádek 45: Vidíme, že v tomto případě <math>P(x) = \frac{-2}{x}</math> :<math>M(x)=e^{\int P(x)\,dx\mathrm{d}x}</math> :<math>M(x)=e^{\int \frac{-2}{x}\,dx\mathrm{d}x} = e^{-2 \ln x} = {(e^{\ln x})}^{-2} = x^{-2} </math> (Všimněte si, že nemusíme používat integrační konstantu - potřebujeme pouze nějaké řešení, ne obecné řešení) :<math>M(x)=\frac{1}{x^2}.</math> Řádek 76: Integrační faktor je libovolný výraz, kterým násobíme diferenciální rovnici, abychom umožnili její integraci. Není omezen na lineární rovnice prvního řádu. Například nelineární rovnice druhého řádu :<math>\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2} = A y^{2/3}</math> umožňuje použití <math>\tfrac{d y}{d t}</math> jako integračního faktoru: :<math>\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = A y^{2/3} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}.</math> Pro integraci si všimněte, že obě strany rovnice lze vyjádřit jako derivace obráceným použitím [[řetězové pravidlo\|řetězového pravidla]]: :<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac 1 2 \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\right)^2\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(A \frac 3 5 y^{5/3}\right).</math> Proto :<math>\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\right)^2 = \frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0.</math> Tento tvar může být v některých případech užitečnější. Provedením [[separace proměnných]] dostaneme:

Integrační faktor: Porovnání verzí