Wikipedie

Lineární diferenciální rovnice: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
Řádek 30:
Můžeme předpokládat, že lineární operátor ''L'' má tvar<ref>Gershenfeld 1999, p.9</ref>
 
: <math>L_n(y) \equiv \frac{\mathrm{d}^n y}{dt\mathrm{d}t^n} + A_1(t)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{dt\mathrm{d}t^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}(t)\frac{dy\mathrm{d}y}{dt\mathrm{d}t} + A_n(t)y </math>
 
Podmínka linearity ''L'' vylučuje takové operace jako provedení druhé mocniny na [[derivace|derivaci]] funkce ''y'', ale dovoluje například provedení druhé derivace funkce ''y''.
Řádek 44:
Typickým jednoduchým příkladem je lineární diferenciální rovnice používaná k modelování radioaktivního rozpadu<ref>Robinson 2004, p.5</ref>. Označíme ''N''(''t'') počet radioaktivních atomů v nějakém vzorku materiálu<ref>Robinson 2004, p.7</ref> v čase ''t''. Pak lze pro určitou konstantu ''k'' > 0 modelovat rychlost rozpadu radioaktivních atomů vztahem
 
:<math> \frac{dN\mathrm{d}N}{dt\mathrm{d}t} = -k N</math>
 
Jestliže ''y'' je funkce pouze jedné proměnné, mluvíme o [[obyčejné diferenciální rovnice|obyčejných diferenciálních rovnicích]], jinak musíme derivace a jejich koeficienty chápat jako ([[tenzorová kontrakce|kontrahované]]) vektory, matice nebo [[tenzor]]y vyššího řádu, a jedná se o (lineární) [[parciální diferenciální rovnice]].
Řádek 193:
Předpokládejme, že máme řešit rovnici
 
:<math>\frac {\mathrm{d}^{n}y(x)} {dx\mathrm{d}x^{n}} + A_{1}\frac {\mathrm{d}^{n-1}y(x)} {dx\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + A_{n}y(x) = f(x).</math>
 
Definujeme charakteristický polynom
Řádek 244:
Použitím [[seznam integrálů exponenciálních funkcí|seznamu integrálů exponenciálních funkcí]]
 
:<math>u_1=-\tfrac{i}{2}\int\sin(kx)e^{(-2-i)x}\,dx\mathrm{d}x =\frac{ie^{(-2-i)x}}{2(3+4i+k^2)}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)</math>
:<math>u_2=\tfrac{i}{2}\int\sin(kx)e^{(-2+i)x}\,dx\mathrm{d}x=\frac{ie^{(i-2)x}}{2(3-4i+k^2)}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right).</math>
 
odtud
Řádek 279:
Při použití obecné metody řešení:
 
: <math>y=e^{-3x}\left(\int 2 e^{3x}\, dx\mathrm{d}x + \kappa\right). \,</math>
 
Vyřešením neurčitého integrálu dostaneme:
Řádek 297:
kde D je [[diferenciální operátor]]. Rovnice tohoto tvaru můžeme řešit vynásobením [[integrační faktor|integračním faktorem]]
 
:<math>e^{\int f(x)\,dx\mathrm{d}x}</math>
 
čímž získáme
 
:<math> Dy(x)e^{\int f(x)\,dx\mathrm{d}x}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx\mathrm{d}x}=g(x)e^{\int f(x) \, dx\mathrm{d}x},</math>
 
což zjednodušíme použitím [[součinové pravidlo|součinového pravidla]] na
 
: <math> D\left (y(x)e^{\int f(x)\,dx\mathrm{d}x} \right )=g(x)e^{\int f(x)\,dx\mathrm{d}x}</math>
 
po zintegrování obou stran a vyřešení pro ''y''(''x'') dostaneme:
 
: <math> y(x) = \frac{\int g(x)e^{\int f(x)\,dx\mathrm{d}x} \,dx\mathrm{d}x+c}{e^{\int f(x)\,dx\mathrm{d}x}}.</math>
 
Jinými slovy: Řešení obyčejné lineární diferenciální rovnice prvního řádu
Řádek 317:
s koeficienty, které mohou, ale nemusí být funkcí proměnné ''x'', je
 
:<math>y=e^{-a(x)}\left(\int g(x) e^{a(x)}\, dx\mathrm{d}x + \kappa\right)</math>
 
kde κ je integrační konstanta a
 
: <math>a(x)=\int{f(x)\,dx\mathrm{d}x}.</math>
 
Kompaktní tvar obecného řešení je (viz J. Math. Chem. 48 (2010) 175):
 
: <math> y(x) = \int_a^x \! {[y(a) \delta(t-a)+g(t)] e^{-\int_t^x \!f(u)du\mathrm{d}u}\, dt\mathrm{d}t}\,.</math>
 
kde δ(''x'') je zobecněná Diracova delta funkce.
Řádek 333:
Uvažujme diferenciální rovnici prvního řádu s [[konstantními koeficienty]]:
 
:<math>\frac{dy\mathrm{d}y}{dx\mathrm{d}x} + b y = 1.</math>
 
Tato rovnice je zvlášť důležitá pro soustavy prvního řádu jako například [[RC článek|RC obvody]] a [[tlumené kmitání]].
Řádek 351:
(kde <math>\mathbf{y} (x)</math> je vektor nebo matice a <math>A( x )</math> je matice),
nechť <math>U( x )</math> je řešení of <math>\mathbf y'(x) =(x)\mathbf y(x)</math> s <math>U(x_0) = I</math> (jednotková matice). <math>U</math> je fundamentální matice rovnice – sloupce matice <math>U</math> vytváří úplnou lineárně nezávislou množinu řešení homogenní rovnice. Po substitucí <math>\mathbf y(x) = U(x)\mathbf z(x)</math> se rovnice <math>\mathbf y'(x) =(x)\mathbf y(x)+\mathbf b(x)</math> zjednoduší na <math>U(x)\mathbf z'(x) = \mathbf b(x).</math> Tedy
:<math>\mathbf{y}(x) = U(x)\mathbf{y_0} + U(x)\int_{x_0}^x U^{-1}(t)\mathbf{b}(t)\,dt\mathrm{d}t</math>
Pokud <math>A(x_1)</math> komutuje s <math>A(x_2)</math> pro všechna <math> x_1 </math> a <math> x_2</math>, pak
:<math>U(x) = e^{\int_{x_0}^x(x)\,dx\mathrm{d}x}</math>
a tedy
:<math>U^{-1}(x) = e^{-\int_{x_0}^x(x)\,dx\mathrm{d}x},</math>
ale v obecném případě řešení v uzavřeném tvaru neexistuje. Proto se používají přibližné metody jako například [[Magnusova expanze]]. Všimněte si, že exponenciální funkce jsou [[maticová exponenciální funkce|maticové exponenciální funkce]].
 
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Lineární_diferenciální_rovnice“