Dimenze vektorového prostoru: Porovnání verzí

m
(→‎Motivace: Zpřehledněna formulace)
:''Důkaz'': Z [[Dimenze vektorového prostoru#Definice|definice]] množiny <math>\scriptstyle N_0</math> ihned plyne, že <math>\scriptstyle k \in N_0</math>. Minimum této množiny je tedy určitě menší nebo rovno číslu <math>\scriptstyle k</math> a tedy <math>\scriptstyle \dim V \leq k</math>, což jsme chtěli dokázat.
 
Pokud tedy v prostoru <math>\scriptstyle \tilde{V}</math> existuje <math>\scriptstyle ''n</math>'' lineárně nezávislých vektorů a každý soubor o ''n+1'' a více vektorech je lineárně závislý, tak množina <math>\scriptstyle N_0</math> obsahuje čísla <math>\scriptstyle ''n'', ''n+1'', ''n+2'', \ldots</math>..., protože všechna tato zřejmě splňují definiční podmínky množiny <math>\scriptstyle N_0</math>. Abychom tedy dostali námi očekávanou hodnotu ''n'', musíme vzít minimum této množiny. Pokud využijeme předchozích dvou dokázaných tvrzení, tak rovnost <math>\scriptstyle \dim \tilde{V} = n</math> plyne ihned.
 
Jak již bylo výše zmíněno, v praxi je výhodnější používat tvrzení, že dimenze [[netriviální vektorový prostor|netriviálního vektorového prostoru]] je rovna počtu prvků jeho [[báze (algebra)|báze]], které si nyní dokážeme v podobě následujících dvou tvrzení. Dokážeme nyní tedy ekvivalenci obou výše podaných definic dimenze pro konečněrozměrné prostory. (<math>\scriptstyle \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots \}</math>)
665

editací