Dimenze vektorového prostoru: Porovnání verzí

→‎Motivace: Zpřehledněna formulace
(Předělán celý článek, doplněny vlastnosti, příklady, motivace, úvod. Rozšířena definice.)
(→‎Motivace: Zpřehledněna formulace)
== Motivace ==
 
VDimenzi každém [[netriviální vektorový prostor|netriviálním vektorovémvektorového prostoru]] <math>\scriptstylelze V</math>zavést jsmepomocí schopni naléztpojmu [[lineární nezávislost|lineárně nezávislý]]i soubora vektorůto postupem, který si právě nastíníme. V dalším pro jednoduchost předpokládejme, že pracujeme s vektorovým prostorem <math>\scriptstyle V</math> definovaným nad číselným [[těleso (algebra)|tělesem]] <math>\scriptstyle T</math>. ŘekněmeV každém [[netriviální vektorový prostor|netriviálním vektorovém prostoru]] <math>\scriptstyle V</math> jsme schopni nalézt [[lineární nezávislost|lineárně nezávislý]] soubor vektorů. Konkrétně řekněme, že jsme ve <math>\scriptstyle V</math> jsme nalezli <math>\scriptstyle n</math> vektorů <math>\scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n</math>, které jsou lineárně nezávislé, kde (<math>\scriptstyle n</math> je [[přirozené číslo]] větší nebo rovno jedné). ZajímáPtejme násse nyní, zda jsme schopni ve stejném prostoru <math>\scriptstyle V</math> nalézt <math>\scriptstyle n+1</math> lineárně nezávislých vektorů.
 
* Pokud ne, tj. pokud každý soubor ''<math>\scriptstyle n+1''</math> vektorů z <math>\scriptstyle V</math> je lineárně závislý, tak říkáme, že vektorový prostor <math>\scriptstyle V</math> má dimenzi rovnou <math>\scriptstyle n</math>. V takovém případě lze totiž každý vektor prostoru <math>\scriptstyle V</math> popsat pomocí <math>\scriptstyle n</math> čísel. Důvod je následující: s využitím vektorů <math>\scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n</math> jsme schopni vyjádřit jakýkoliv jiný vektor z prostoru <math>\scriptstyle V</math> jako jejich lineární kombinaci. Kdyby to totiž nebyla pravda, tak by musel existovat vektor <math>\scriptstyle \vec{x}_0</math>, který jako lineární kombinaci vektorů <math>\scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n</math> vyjádřit nelze. To by ale znamenalo, že jsou vektory <math>\scriptstyle \vec{x}_0, \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n</math> lineárně nezávislé, jak plyne z [[Lineární nezávislost#Alternativní definice|definice lineární nezávislosti]]. Obdrželi jsme tak <math>\scriptstyle (n+1)</math>-členný soubor vektorů z <math>\scriptstyle V</math>, který je lineárně nezávislý. To je ale ve sporu s tím, že právě uvažujeme prostor <math>\scriptstyle V</math> v němž více než <math>\scriptstyle n</math>-členné soubory lineárně nezávislých vektorů nejsou. Dokázali jsme tak, že každý vektor <math>\scriptstyle \vec{x}</math> ve vektorovém prostoru <math>\scriptstyle V</math> lze vyjádřit jako lineární kombinaci <math>\scriptstyle \sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i</math>. K jednoznačnému určení vektoru <math>\scriptstyle \vec{x} \in V</math> nám tak stačí znát <math>\scriptstyle n</math> čísel <math>\scriptstyle \alpha_i</math>, kde <math>\scriptstyle i \in \{1, \ldots, n\}</math>.
 
* Pokud ano, tj. pokud jsme ve <math>\scriptstyle V</math> schopni nalézt <math>\scriptstyle n+1</math> lineárně nezávislých vektorů, tak se ptejme dále, zda ve <math>\scriptstyle V</math> existuje <math>\scriptstyle (n+2)</math>-členný lineárně nezávislý soubor vektorů. Pokud ne, tak řekneme, že prostor <math>\scriptstyle V</math> má dimenzi <math>\scriptstyle n+1</math>. Pokud ano, pokračujeme analogicky dále. Jestliže se po určité době na některém čísle <math>\scriptstyle m</math> zastavíme, tj. všechny <math>\scriptstyle (m+1)</math>-členné soubory vektorů ve <math>\scriptstyle V</math> jsou [[lineární závislost|lineárně závislé]], tak řekneme, že <math>\scriptstyle V</math> má dimenzi <math>\scriptstyle m</math>. Libovolný vektor z <math>\scriptstyle V</math> pak lze jednoznačně popsat pomocí <math>\scriptstyle m</math> čísel, viz tvrzení v předchozím odstavci. Pokud ale můžeme v tomto postupu hledání čím dál větších lineárně nezávislých souborů pokračovat do nekonečna, tj. pro rostoucí číslo <math>\scriptstyle m</math> najdeme vždy <math>\scriptstyle m</math> lineárně nezávislých vektorů z <math>\scriptstyle V</math>, tak řekneme, že <math>\scriptstyle V</math> má nekonečnou dimenzi.
648

editací