Otevřít hlavní menu

Změny

Přidáno 1 473 bajtů ,  před 5 lety
rozšíření, vzorce jsou z enwiki
[[Soubor:Arctangent Arccotangent.svg|thumb|upright=1.5|Grafy funkcí [[arkus tangens]] a [[arkus kotangens]]]]
'''Arkus kotangens''' je jedna z [[Cyklometrická funkce|cyklometrických]] [[funkce (matematika)|funkcí]], [[inverzní zobrazení|inverzní funkce]] k funkci [[kotangens]] omezené na interval {{math|(0; &pi;)}}. Díky tomuto omezení je výchozí funkce [[prostá funkce|prostá]], takže požadovaná inverzní funkce existuje. Obvykle se značí {{math|arccotg &nbsp;<var>x</var>}}, {{math|arccotale používají se i značky arccot&nbsp;<var>x</var>}}, {{math|cotga cot<sup>&minus;1</sup> &nbsp;<var>x</var>}}. neboJejí hodnotou je [[úhel]] v [[radián|obloukové míře]] z&nbsp;intervalu (0;&nbsp;{{math|cot<sup>&minuspi;1</sup>}}), popřípadě ve [[stupeň (úhel)|stupňové míře]] z intervalu (0°;&nbsp;180°), jehož kotangens je <var>x</var>}}.
 
Na rozdíl od cyklometrických funkcí [[arkus sinus|arcsin]], [[arkus kosinus|arccos]] a [[arkus tangens|arctg]] nebývá na kalkulačkách k dispozici, ale s využitím funkce arctg ji lze vypočítat podle [[#Vzorce|některého ze vzorců]].
 
== Definice ==
Funkce arccotg&nbsp;<var>x</var> je [[inverzní funkce]] k funkci [[kotangens|cotg]] <var>x</var>, jejíž [[definiční obor]] byl omezen na interval (0;&nbsp;{{math|&pi;}}). Díky tomuto omezení je výchozí funkce [[prostá funkce|prostá]], takže požadovaná inverzní funkce existuje.
 
== Vlastnosti ==
Funkce arkus<math>y kotangens= \mbox{arccotg }x</math> v [[radián|obloukové míře]] má následující vlastnosti:
{| class="wikitable"
* '''[[Definiční obor]]:''' <math>\mathbb{R}</math>
|-
* '''[[Obor hodnot]]:''' <math>(0;\pi)</math>
! [[Definiční obor]]
* Je '''[[Klesající funkce|ryze klesající]]'''
* '''[[Definiční obor]]:'''| <math>\mathbb{R}</math>
* Je '''[[Omezená funkce|omezená]]'''
|-
* Není '''[[Sudá funkce|sudá]]''' ani '''[[Lichá funkce|lichá]]'''
! [[Obor hodnot]]
* Není '''[[periodická funkce|periodická]]'''
* '''[[Obor hodnot]]:'''| <math>(0;\pi)</math>
* '''[[Derivace]]:''' <math>{ \mathrm{d} \over \mathrm{d}x } \, \mbox{arccotg }x = { -1 \over 1 + x^2 }</math>
|-
* '''[[Integrál]]:''' <math>\int \mbox{arccotg }x\,\mathrm{d}x = x\,\mbox{arccotg }x + {1 \over 2}\ln\left(1+x^2\right) + C</math>
! [[Omezená funkce|Omezenost]]
* '''[[Inverzní zobrazení|Inverzní funkce]]:''' <math>x = \mbox{cotg }y</math> &nbsp; ([[kotangens]])
*| Je '''[[Omezená funkce|omezená]]'''
|-
! [[Monotonie]]
*| Je '''[[Klesající funkce|ryze klesající]]'''
|-
! [[Symetrie]]
| Není '''[[Sudá funkce|sudá]]''' ani '''[[Lichá funkce|lichá]]''', ale [[graf funkce|graf]] je '''[[středová souměrnost|souměrný podle středu]]''' <math>(x, y) = (0, \tfrac{\pi}{2})</math>
|-
! [[Periodická funkce|Periodicita]]
*| Není '''[[periodická funkce|periodická]]'''
|-
! [[Limita|Limity]]
| <math>\lim_{x \to -\infty} \mbox{arccotg }x = \pi</math>
<math>\lim_{x \to +\infty} \mbox{arccotg }x = 0</math>
|-
! [[Inverzní zobrazení|Inverzní funkce]]
* '''[[Inverzní zobrazení|Inverzní funkce]]:''' <math>x = \mbox{cotg }y</math> &nbsp; ([[kotangens]])
|-
! [[Derivace]]
* '''[[Derivace]]:'''| <math>{ \mathrm{d} \over \mathrm{d}x } \, \mbox{arccotg }x = { -1 \over 1 + x^2 }</math>
|-
! [[Integrál]]
* '''[[Integrál]]:'''| <math>\int \mbox{arccotg }x\,\mathrm{d}x = x\,\mbox{arccotg }x + {1 \over 2}\ln\left(1+x^2\right) + C</math>
|}
 
== Vzorce ==
<math>\mbox{arccotg }x = \tfrac{\pi}{2} - \mbox{arctg }x</math>
 
<math>\mbox{arccotg }(-x) = \pi - \mbox{arccotg }x</math>
 
<math>\mbox{arccotg }{1 \over x} = \begin{cases}
\tfrac{\pi}{2} - \mbox{arccotg }x = \mbox{arctg }x & \text{pokud } x > 0 \\
\tfrac{3}{2}\pi - \mbox{arccotg }x = \pi + \mbox{arctg }x & \text{pokud } x < 0
\end{cases}</math>
 
{{Goniometrické a cyklometrické funkce}}
[[Kategorie:Cyklometrické funkce]]