Kvartická rovnice: Porovnání verzí

Odebráno 36 bajtů ,  před 7 lety
m
→‎Obecné řešení kvartické rovnice: stylistika, odstranění některých osobních formulací
m (Robot: uk:Рівняння четвертого степеня je dobrý článek; kosmetické úpravy)
m (→‎Obecné řešení kvartické rovnice: stylistika, odstranění některých osobních formulací)
 
== Obecné řešení kvartické rovnice ==
Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná analyticky (tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). Jako první nalezl řešení Ital Ludovico Ferrari někdy v 15. století, když byl žákem [[Gerolamo Cardano|Girolama Cardana]], nicméně existuje mnoho elegantnějších metod, jak takové rovnice řešit. Jednu z nich předložil např. Francouz René Descartes a tuto metodu bych zde rád uvedluvedeme.
 
Řešení spočívá v následujícím postupu:
<math>x = y - \frac{B}{4}\,</math>
 
Tím dostaneme jinou rovnici os jinénovou neznáméneznámou <math>y</math>. Mezi neznámými <math>x</math>, <math>y</math> však existuje vztah, takže dokážeme-li najít neznámou <math>y</math>, pak dokážeme najít i neznámou <math>x</math>. Tuto konkrétní substituci jsme zvolili proto, abychom získali jistý speciální tvar nové rovnice – tato rovnice bude mít tzv. redukovaný tvar:
 
<math>y^4 + Py^2 + Qy + R = 0 \qquad\qquad(1) </math>
11. Známe-li kořeny <math>y_{1,2,3,4}</math>, pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice <math>x_{1,2,3,4}</math>.
 
Poznámka - Řešení by šlo jistě vyjádřit i pomocí původních koeficientů <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math>, <math>E</math>, ale bylojeho zápis by takbyl dlouhé,poměrně složitékomplikovaný a nepraktickénepraktický, žeproto ho zde neuvedu, stejně by nemělo velký praktický významneuvádíme. Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned, a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.
 
Např. rovnici <math>x^4 + 6x^3 - x - 6 = 0</math> lze snadno rozložit na <math>(x + 6)(x^3 - 1) = 0</math>, popř. ještě dál na: <math>(x + 6)(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0</math>, a tak uhodnout z hlavy kořeny <math>x_{1} = -6</math>, <math> x_{2} = 1 </math>.
752

editací