Lineární nezávislost: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
→‎Příklad 1 - Aritmetické vektory: Přidán text příkladu
Přidán další příklad
Řádek 186:
Ta je zjevně splněna jen pro <math>\scriptstyle \alpha_1 = 0</math> a <math>\scriptstyle \alpha_2 = 0</math>. Všechny tři koeficienty jsou tedy nulové a my jsme tím dokázali, že vektory <math>\scriptstyle \vec{x}_1, \vec{x}_2, \vec{x}_3</math> jsou lineárně nezávislé.
 
=== Příklad 2 - FunkcePolynomy ===
 
Vektorové prostory mohou být ale rozmanitější, než jen ty s ''n''-ticemi čísel. Vektorovým prostorem je například i množina všech [[polynom]]ů. Vezměme dva jednoduché polynomy a zkoumejme u nich lineární nezávislost...
 
 
=== Příklad 3 - Komplexní funkce ===
 
Vektorový prostor například tvoří i [[komplexní funkce]] [[reálné číslo|reálné]] [[proměnná|proměnné]], kde definujeme sčítání funkcí a jejich násobení bodově. Máme tedy množinu
:<math> V = \{ f \big| f \, \text{je funkce}, \, f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}\}.</math>
 
Vezměme nyní tři funkce a ptejme se, zda jsou lineárně nezávislé, konkrétně funkce
:<math>
f_1(x) = \cos(x), \quad f_2(x) = e^{i x}, \quad f_3(x) = e^{-i x}.
</math>
Symbol ''i'' zde značí [[imaginární jednotka|imaginární jednotku]]. V [[matematická analýza|matematické analýze]] se dokazuje tzv. [[Eulerův vzorec]], jenž zní
:<math> e^{i x} = \cos(x) + i \sin(x).</math>
Když do výše uvedeného vzorce dosadíme místo proměnné <math>\scriptstyle x</math> proměnnou <math>\scriptstyle -x</math>, tak nám přejde na tvar
:<math> e^{-i x} = \cos(x) - i \sin(x),</math>
kde jsme využili [[sudá funkce|sudosti funkce]] <math>\scriptstyle \cos</math> a [[lichá funkce|lichosti funkce]] <math>\scriptstyle \sin</math>. Sečteme-li výše uvedené vzorce, dostaneme
:<math> e^{i x} + e^{-i x} = 2 \cos(x)</math>
neboli
:<math> \cos(x) = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2}.</math>
Kromě toho, že jsme nalezli jiné vyjádření pro funkci <math>\scriptstyle \cos</math> jsme tak ještě navíc ukázali, že jsou funkce <math>\scriptstyle f_1, f_2, f_3</math> lineárně závislé. Funkce <math>\scriptstyle f_1</math> jde totiž vyjádřit pomocí zbylých dvou.
 
== Odkazy ==