Vektorový podprostor: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Řádek 11:
# <math> P + P \subset P </math>,
# <math> T \cdot P \subset P </math>,
kde obecně součtem <math>\scriptstyle P + Q</math> dvou podmnožin <math>\scriptstyle P</math>, <math>\scriptstyle Q</math> vektorového prostoru <math>\scriptstyle V</math> chápeme množinu všech vektorů tvaru <math>\scriptstyle \vec{x}_P + \vec{x}_Q</math>, kde <math>\scriptstyle \vec{x}_P \in P</math> a <math>\scriptstyle \vec{x}_Q \in Q</math>. Násobkem tělesa <math>\scriptstyle T</math> a podmnožiny <math>\scriptstyle P</math> vektorového prostoru <math>\scriptstyle V</math> (definovaného nad <math>\scriptstyle T</math>) chápeme množinu všech vektorů tvaru <math>\scriptstyle \alpha \vec{x}</math>, kde <math>\scriptstyle \alpha \in T</math> a <math>\scriptstyle \vec{x} \in P</math> (viz též oddíl [[Vektorový prostor#Vektorové operace s množinami|Vektorové operace s množinami]] v článku [[Vektorový prostor]]).
Je snadné ukázat, že množina obsahující jen [[nulový prvek]], tj. <math>\scriptstyle \{ \vec{0} \}</math> (neplést s [[Prázdná množina|prázdnou množinou]]) je podprostorem každého vektorového prostoru (v každém vektorovém prostoru je axiomaticky zaveden nulový prvek). Stejně tak je zřejmé, že i vektorový prostor je sám sobě podprostorem. Tyto dva speciální, degenerované, případy podprostorů se nazývají '''triviální podprostory'''. Všechny podprostory vektorového prostoru <math>\scriptstyle V</math> vyjma vektorového prostoru samotného se pak nazývají '''vlastními podprostory'''<ref group="pozn.">V této souvislosti je třeba upozornit na malou nejednoznačnost v názvosloví. Pojmem ''vlastní podprostor'' se někdy též označuje prostor generovaný [[vlastní vektor|vlastními vektory]] [[lineární zobrazení|lineárního zobrazení]] pro jedno jeho jisté [[vlastní číslo]].</ref> vektorového prostoru <math>\scriptstyle V</math>. Podprostor <math>\scriptstyle \{ \vec{0} \}</math> je občas nazýván '''nulový podprostor'''. Nulový podprostor je zřejmě vlastním podprostorem každého vektorového prostoru <math>\scriptstyle V</math> pokud <math>\scriptstyle V \neq \{ \vec{0}\}</math>.
| |||