Vektorový podprostor: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
Řádek 66:
:<math>(\forall P \subset \subset V)((\dim V < + \infty \wedge P \neq V) \Rightarrow \dim P < \dim V).</math>
 
:''Důkaz:'' Je-li <math>\scriptstyle V</math> nekonečněrozměrný, pak první část tvrzení zjevně platí. Mějme nyní <math>\scriptstyle \dim V = n < \infty</math> a <math>\scriptstyle P \subset \subset V</math>. Nechť v <math>\scriptstyle P</math> existuje <math>\scriptstyle n + 1</math> lineárně nezávislých vektorů. Protože je <math>\scriptstyle P</math> podmnožina <math>\scriptstyle V</math>, tak jsou tyto vektory lineárně nezávislé i v prostoru <math>\scriptstyle V</math>, což je spor s tím, že dimenze <math>\scriptstyle V</math> je rovna <math>\scriptstyle n</math>. Pro důkaz druhé části tvrzení nechť <math>\scriptstyle \dim P = k \leq n</math>. V <math>\scriptstyle P</math> tedy existuje <math>\scriptstyle k</math>-členná báze <math>\scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k</math>. V tuto chvíli mohou nastat dvě situace, buď je <math>\scriptstyle P = V</math> a pak zřejmě <math>\scriptstyle \dim P = \dim V</math>, anebo je <math>\scriptstyle P</math> vlastním podprostorem <math>\scriptstyle V</math>. Ve druhém zmiňovaném případě tedy existuje vektor <math>\scriptstyle \vec{x}_{k+1} \in V</math>, který neleží v <math>\scriptstyle P</math>. Množina vektorů <math>\scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k, \vec{x}_{k=+1}</math> je tedy [[lineární nezávislost|lineárně nezávislá]] a současně je podmnožinou vektorového prostoru <math>\scriptstyle V</math>, který tak musí mít dimenzi rovnou alespoň <math>\scriptstyle k+1</math>, tj. <math>\scriptstyle \dim V \geq k + 1</math>. Takže <math>\scriptstyle \dim V > \dim P</math>, což bylo dokázat.
 
* [[První věta o dimenzi]]: Nechť <math>\scriptstyle P_1, P_2</math> jsou konečnědimenzionální podprostory vektorového prostoru <math>\scriptstyle V</math>, pak
Řádek 73:
:<math> \dim(P_1 \oplus P_2) = \dim P_1 + \dim P_2.</math>
 
:''Důkaz:'' viz článek o [[První věta o dimenzi|první větě o dimenzi]]:.
 
=== Souvislost s lineárním obalem ===