:Speciálně, průnik dvou podprostorů je opět podprostor.
:''Důkaz:'' Označme si nejprve průnik vpodprostorů ve rovnostivztahu výše jako <math>\scriptstyle A</math>. Množina <math>\scriptstyle A</math> je neprázdná, neboť v ní určitě leží nulový vektor (ten je totiž obsažen v jakémkoli podprostoru). Protože je <math>\scriptstyle A</math> průnik podprostorů <math>\scriptstyle P_i</math>, jedná se určitě o podmnožinu libovolného z <math>\scriptstyle P_i</math>. Pro každé <math>\scriptstyle i \in J</math> tedy platí <math>\scriptstyle T \cdot A + A \subset T \cdot P_i + P_i \subset P_i</math>, kde druhá inkluze plyne z toho, že <math>\scriptstyle P_i</math> je podprostor a z tvrzení [[vektorový podprostor#Alternativní definiční podmínky podprostoru|výše]]. Máme tedy pro každé <math>\scriptstyle i \in J</math> inkluzi <math>\scriptstyle T \cdot A + A \subset P_i</math>, takže i <math>\scriptstyle T \cdot A + A \subset \bigcap_{i \in J} P_i</math>. Uvedený průnik podprostorů jejsme si ale rovenoznačili množinějako <math>\scriptstyle A</math>, tj. <math>\scriptstyle T \cdot A + A \subset A</math> a z tvrzení [[vektorový podprostor#Alternativní definiční podmínky podprostoru|výše]] plyne, že <math>\scriptstyle A</math> je podprostor.
=== Dimenze podprostorů ve vztahu k celkovému vektorovému prostoru ===
