:''Důkaz:'' Zřejmě je <math>\scriptstyle P_1 + P_2 \neq \emptyset</math>. Využijme tvrzení [[vektorový podprostor#Alternativní definiční podmínky podprostoru|výše]]: <math>\scriptstyle T \cdot (P_1 + P_2) + (P_1 + P_2) \subset T \cdot P_1 + T \cdot P_2 + (P_1 + P_2) \subset (T \cdot P_1 + P_1) + (T \cdot P_2 + P_2) \subset P_1 + P_2</math>, čímž jsme dokázali první vlastnost. KNyní k důkazu druhé části tvrzení týkající se direktního součtu. Předpokládejme pro důkaz implikace zleva doprava, že součet <math>\scriptstyle P_1 + P_2</math> je direktní. V průniku těchto podprostorů leží určitě nulový vektor. Kdyby tam ležel i nenulový vektor <math>\scriptstyle \vec{x} \in P_1 \cap P_2</math>, tak určitě <math>\scriptstyle \vec{x} \in P_1</math> a současně <math>\scriptstyle -\vec{x} \in P_2</math>. Potom ale můžeme vyjádřit nulový vektor <math>\scriptstyle \vec{0} \in P_1 + P_2</math> jako součet vektoru z <math>\scriptstyle P_1</math> a vektoru <math>\scriptstyle P_2</math> dvěma způsoby. Sice <math>\scriptstyle \vec{0} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{x} + (-\vec{x})</math>. To je však spor s direktností součtu <math>\scriptstyle P_1 \oplus P_2</math>. Dokažme nyní implikaci zprava doleva. Předpokládejme, že <math>\scriptstyle P_1 \cap P_2 = \{ \vec{0} \}</math> a přitom součet <math>\scriptstyle P_1 + P_2</math> není direktní. Takže existuje vektor <math>\scriptstyle \vec{x} \in P_1 + P_2</math>, který lze vyjádřit alespoň dvěma různými způsoby jako <math>\scriptstyle \vec{x} = \vec{a}_1 + \vec{a}_2 = \vec{b}_1< + \vec{b}_2</math>, kde <math>\scriptstyle \vec{a}_1, \vec{b}_1 \in P_1</math> a <math>\scriptstyle \vec{a}_2, \vec{b}_2 \in P_2</math> a navíc <math>\scriptstyle \vec{a}_1 \neq \vec{b}_1</math> a <math>\scriptstyle \vec{a}_2 \neq \vec{b}_2</math>. Pak ale <math>\scriptstyle \vec{0} \neq \vec{a}_1 - \vec{b}_1 = \vec{b}_2 - \vec{a}_2</math>, kde <math>\scriptstyle \vec{a}_1 - \vec{b}_1 \in P_1</math> a <math>\scriptstyle \vec{b}_2 - \vec{a}_2 \in P_2</math>. Mám tak nenulový vektor nacházející se v průniku <math>\scriptstyle P_1 \cap P_2</math>, což je spor s předpoklady.
* Průnik libovolného (konečného i nekonečného) počtu podprostorů vektorového prostoru <math>\scriptstyle V</math> je podprostor ve <math>\scriptstyle V</math>. Uvažujme tedy <math>\scriptstyle \{ P_i \}_{i \in J}</math> neprázdný systém podprostorů ve <math>\scriptstyle V</math>, kde <math>\scriptstyle J</math> je neprázdná [[indexová množina]]. Pak
