Vektorový podprostor: Porovnání verzí

:''Důkaz:'' Dokážeme řetězec [[implikace|implikací]] <math>\scriptstyle 1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 1 </math>. Začněme tedy s implikací <math>\scriptstyle 1 \Rightarrow 2</math>. Množinové definiční podmínky podprostoru zní <math>\scriptstyle P + P \subset P</math> a <math>\scriptstyle T \cdot P \subset P</math> a my víme z předpokladů, že <math>\scriptstyle P</math> je podprostor a tedy tyto podmínky splňuje. Dohromady tedy <math>\scriptstyle T \cdot P + P \subset P + P \subset P</math>, což je množinové vyjádření tvrzení 2. Implikaci <math>\scriptstyle 2 \Rightarrow 3</math> dokážeme [[matematická indukce|matematickou indukcí]]. Nyní je třeba si uvědomit, že máme v rukou pouze tvrzení 2 a nevíme tedy, zda je <math>\scriptstyle P</math> podprostor vektorového prostoru <math>\scriptstyle V</math>. Víme pouze, že to je nějaká jeho podmnožina. Dokažme nejdříve, že v <math>\scriptstyle P</math> leží [[nulový vektor]] <math>\scriptstyle \vec{0}</math>. Množina <math>\scriptstyle P</math> je neprázdná, vezměme z ní tedy libovolně nějaký její prvek <math>\scriptstyle \vec{p} \in P</math>. Na volbu prvku z tělesa nemáme omezení a vezměme tedy <math>\scriptstyle \alpha = -1</math>. Tvrzení 2 pak dává <math>\scriptstyle \alpha \vec{p} + \vec{p} \in P</math>, tj. <math>\scriptstyle \alpha \vec{p} + \vec{p} = (-\vec{p}) + \vec{p} = \vec{0} \in P</math>. Už víme tedy, že <math>\scriptstyle \vec{0} \in P</math>. Ukažme teď první krok indukce, tj. nechť <math>\scriptstyle k = 1</math> a chceme dokázat <math>\scriptstyle \alpha \vec{x} \in P</math> pro libovolné <math>\scriptstyle \alpha \in T</math> a <math>\scriptstyle \vec{x} \in P</math>. Platí ale <math>\scriptstyle \alpha \vec{x} = \alpha \vec{x} + \vec{0}</math>, což je vektor ve tvaru, který podle tvrzení 2 spadá do množiny <math>\scriptstyle P</math>. Dokažme dále indukční krok, tj. nechť všechny vektory tvaru <math>\scriptstyle \sum_{i=1}^k \alpha_i \vec{x}_i</math> leží v množině <math>\scriptstyle P</math> a vezměme libovolné <math>\scriptstyle \alpha_{k+1} \in T</math> a <math>\scriptstyle \vec{x}_{k+1} \in P</math>. Pak ale <math>\scriptstyle \sum_{i=1}^{k+1} \alpha_i \vec{x}_i = \left( \sum_{i=1}^{k+1} \alpha_i \vec{x}_i \right) + \alpha_{k+1} \vec{x}_{k+1}</math>, což je opět vektor tvaru vyhovujícímuvyhovujícího tvrzení 2. Suma <math>\scriptstyle \sum_{i=1}^{k+1} \alpha_i \vec{x}_i</math> tedy leží v <math>\scriptstyle P</math>. Dokažme konečně implikaci <math>\scriptstyle 3 \Rightarrow 1</math>. Položíme-li ve vzorci ve tvrzení 3 <math>\scriptstyle k = 1</math> ve vzorci v tvrzení 3, tak dostáváme druhou definiční podmínku podprostoru. Pokud navíc zvolíme <math>\scriptstyle k = 2</math> a <math>\scriptstyle \alpha_1 = \alpha_2 = 1</math>, tak ihned dostáváme i první definiční podmínku podprostoru. Důkaz věty je tak dokončen.