Abstraktní algebra: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
m WPCleaner v1.29 - Nesprávně zakončené komentáře - Odkaz shodný se svým popisem - Opravy pravopisu a typografie (Opraveno pomocí WP:WCW)
JAnDbot (diskuse | příspěvky)
m Náhrada šablon {{Hlavní článek}} -> {{Podrobně}}; kosmetické úpravy
Řádek 13:
Kromě toho, na téže množině je často možné operace definovat několika způsoby a všechny mohou být užitečné. Např. pokud na množině {0,1} uvažujeme sčítání a násobení definované obvyklým způsobem až na to, že 1+1=0, dostaneme tzv. [[Aritmetika modulo n|těleso modulo 2]], velmi užitečné v teorii šifrování. Pokud uvažujeme 1+1=1, dostaneme [[Booleova algebra|Booleovu algebru]] užitečnou v [[Matematická logika|logice]].
 
Uvedený příklad je nedokonalý, neboť lze argumentovat, že [[Univerzální_algebraUniverzální algebra#Signatura|signatura]] těles či [[Okruh (algebra)|okruhů]] nemá nic společného se signaturou Booleových algeber (u nichž je navíc běžnější operace značit <math>\cap</math> a <math>\cup</math>). Ovšem na množině [[Čtvercová matice|čtvercových matic]] dané velikosti lze operaci násobení definovat několika způsoby: buď obvyklým [[Násobení matic|maticovým násobením]], nebo po prvcích, kdy součin dvou matic ''A'' a ''B'' má na pozici ''(i,j)'' součin prvků ''A<sub>i,j</sub>'' a ''B<sub>i,j</sub>''.
 
Není tedy možné se zeptat, zda okruh čtvercových matic má nějakou vlastnost (například je [[izomorfní]] s jiným okruhem), pokud neupřesníme, '''jak jsou na něm definovány operace'''.
 
Dalším příkladem struktury s neobvykle definovanými operacemi je [[Svaz (matematika)|svaz]] vyjadřující [[dělitelnost]]. Operace "spojení" (<math> x \vee y</math> ve svazu představuje "nejmenší prvek <math>z</math> takový, že <math>x \le z</math> a <math>y \le z</math>". Jelikož však ve svazu dělitelnosti relace <math>x \le y</math> představuje "''x'' je dělitel ''y''", je například <math> 20 \vee 30 = 60</math>, nikoli 30.
 
Tyto zdánlivě neobvyklé struktury se zkoumají proto, že pomocí nich lze objevit důležité matematické výsledky s mnoha aplikacemi v různých oblastech [[věda|vědy]] i v [[technika|technologické praxi]].
Řádek 25:
takže při jejím přejmenování opatrně --Pavel_Jelinek, září 2010
-------------------------------------------------------------------- -->
== Algebraické struktury ==
 
{{Hlavní článekPodrobně|Algebraická struktura}}
 
Algebra zkoumá tzv. algebraické struktury, tedy množiny vybavené [[Operace (matematika)|operacemi]], nikoli např. [[Relace (matematika)|relacemi]].
 
Algebraickou operací [[arita|arity]] ''n'' na množině ''A'' (jinými slovy: ''n''-ární operací) se rozumí zobrazení, které [[Uspořádaná dvojice|uspořádané n-tici]] prvků z ''A'' přiřadí prvek z ''A''. Například násobení přiřadí dvojici (3,2) číslo 6.
 
'''Příklad operací:'''
Řádek 43:
* Množina přirozených čísel s operací odčítání není algebraickou strukturou, neboť výsledek nemusí ležet v této množině (například 3-8 není přirozené číslo)
* Množina celých čísel s dělením není algebraickou strukturou, neboť výsledek dělení nulou není vůbec definován.
* Pro jakékoli <math>n \in \mathbb{N}^{+}</math> má každé nenulové [[komplexní číslo]] <math>n</math> různých [[Odmocnina#Odmocnina_z_komplexníhoOdmocnina z komplexního čísla|odmocnin]]. Pro každé ''n'' by operace ''n-tá odmocnina'' byla unární operací, kdyby z těchto možných výsledků vrátila jeden. Pokud neuvedeme, které z nich zvolíme (a žádná přirozená metoda výběru zde neexistuje, protože žádná z hodnot nebývá nějak význačná), pak ''n-tá odmocnina na množině komplexních čísel'' není algebraická operace (není to [[Zobrazení (matematika)|zobrazení]], neboť témuž argumentu přiřazuje několik hodnot).
 
Příkladem struktur, které jsou v matematice často zkoumány, ale '''nejsou algebraickými strukturami''', jsou [[Uspořádaná množina|uspořádané množiny]], [[Topologický prostor|topologické prostory]], [[Normovaný vektorový prostor|normované vektorové prostory]], [[Graf (teorie grafů)|grafy]] apod. [[Model (logika)|Model predikátové teorie]] je algebraickou strukturou jen tehdy, pokud tato teorie neobsahuje [[Relační symbol|relační symboly]].
 
=== Formální definice algebraických struktur ===
Řádek 51:
Intuitivně je algebraická struktura "množina vybavená operacemi". Aby bylo možné s nimi exaktně pracovat, [[formalismus|formálně]] se tyto struktury definují jako uspořádané n-tice, kde ''n'' je číslo o jedna větší, než počet těchto operací.
 
Například grupa je množina se třemi operacemi, které lze značit např. <math>\circ</math>, <sup>−1</sup>, ''e'' (nebudeme se teď držet jiné možné definice, která si vystačí s jednou operací). Grupou je tedy každá uspořádaná čtveřice <math>\mathbb{G}</math> = (<math>G</math>, <math>\circ</math>, <sup>−1</sup>, ''e'') taková, že
* <math>\circ</math> je binární operace nad <math>G</math>, operace <sup>−1</sup> je unární operace nad <math>G</math> a ''e'' je nulární operace (konstanta) nad <math>G</math>
* splňuje všechny vztahy v definici grupy, například <math>\forall x \in G: x^{-1}\circ x = e</math>
 
Grupa celých čísel je tedy uspořádaná čtveřice (Z, +, -, 0), kde symbol + značí množinu všech uspořádaných trojic celých čísel <math>(x,y,z)</math> takových, že <math>x+y=z</math>.
 
=== Nosná množina ===
Řádek 87:
=== Ostatní ===
 
Dalšími algebraickými strukturami jsou například [[Svaz_Svaz (matematika)|svazy]] a [[Booleova algebra|Booleovy algebry]].
 
== Univerzální algebra ==
 
Mezi disciplínami, které studují jednotlivé struktury (např. [[teorie grup]]) zaujímá zvláštní postavení [[univerzální algebra]], jejíž výsledky lze aplikovat na širokou skupinu struktur. Dokážeme-li v ní, že něco platí pro každou [[varieta algeber|varietu]], pak to platí pro všechny grupy, všechny svazy, všechny lineární prostory apod. ([[Varieta_algeberVarieta algeber#Okruhy a tělesa|nikoli]] však pro tělesa) a není nutné to dokazovat pro každou algebraickou strukturu zvlášť). Příkladem takových matematických výsledků jsou [[věty o izomorfismu]] nebo existence [[Volná algebra|volných algeber]].
 
Výsledky univerzální algebry lze zobecnit ještě dále v [[Teorie kategorií|teorii kategorií]], ovšem ta již není odvětvím algebry, neboť zkoumá algebraické i jiné struktury.
 
 
 
 
[[Kategorie:Algebra]]