Abstraktní algebra: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Náhrada šablon {{Hlavní článek}} -> {{Podrobně}}; kosmetické úpravy |
|||
Řádek 13:
Kromě toho, na téže množině je často možné operace definovat několika způsoby a všechny mohou být užitečné. Např. pokud na množině {0,1} uvažujeme sčítání a násobení definované obvyklým způsobem až na to, že 1+1=0, dostaneme tzv. [[Aritmetika modulo n|těleso modulo 2]], velmi užitečné v teorii šifrování. Pokud uvažujeme 1+1=1, dostaneme [[Booleova algebra|Booleovu algebru]] užitečnou v [[Matematická logika|logice]].
Uvedený příklad je nedokonalý, neboť lze argumentovat, že [[
Není tedy možné se zeptat, zda okruh čtvercových matic má nějakou vlastnost (například je [[izomorfní]] s jiným okruhem), pokud neupřesníme, '''jak jsou na něm definovány operace'''.
Dalším příkladem
Tyto zdánlivě neobvyklé struktury se zkoumají proto, že pomocí nich lze objevit důležité matematické výsledky s mnoha aplikacemi v různých oblastech [[věda|vědy]] i v [[technika|technologické praxi]].
Řádek 25:
takže při jejím přejmenování opatrně --Pavel_Jelinek, září 2010
-------------------------------------------------------------------- -->
== Algebraické struktury
{{
Algebra zkoumá tzv. algebraické struktury, tedy množiny vybavené [[Operace (matematika)|operacemi]], nikoli např. [[Relace (matematika)|relacemi]].
Algebraickou operací [[arita|arity]] ''n'' na množině ''A'' (jinými slovy: ''n''-ární operací) se rozumí zobrazení, které
'''Příklad operací:'''
Řádek 43:
* Množina přirozených čísel s operací odčítání není algebraickou strukturou, neboť výsledek nemusí ležet v této množině (například 3-8 není přirozené číslo)
* Množina celých čísel s dělením není algebraickou strukturou, neboť výsledek dělení nulou není vůbec definován.
* Pro jakékoli <math>n \in \mathbb{N}^{+}</math> má každé nenulové [[komplexní číslo]] <math>n</math> různých [[Odmocnina#
Příkladem struktur, které jsou v matematice často zkoumány, ale '''nejsou algebraickými strukturami''', jsou
=== Formální definice algebraických struktur ===
Řádek 51:
Intuitivně je algebraická struktura "množina vybavená operacemi". Aby bylo možné s nimi exaktně pracovat, [[formalismus|formálně]] se tyto struktury definují jako uspořádané n-tice, kde ''n'' je číslo o jedna větší, než počet těchto operací.
Například grupa je množina se třemi operacemi, které lze značit např. <math>\circ</math>, <sup>−1</sup>, ''e''
* <math>\circ</math> je binární operace nad <math>G</math>, operace <sup>−1</sup> je unární operace nad <math>G</math> a ''e'' je nulární operace (konstanta) nad <math>G</math>
* splňuje všechny vztahy v definici grupy, například <math>\forall x \in G: x^{-1}\circ x = e</math>
Grupa celých čísel je tedy uspořádaná čtveřice (Z, +, -, 0), kde symbol
=== Nosná množina ===
Řádek 87:
=== Ostatní ===
Dalšími algebraickými strukturami jsou například [[
== Univerzální algebra ==
Mezi disciplínami, které studují jednotlivé struktury (např. [[teorie grup]]) zaujímá zvláštní postavení [[univerzální algebra]], jejíž výsledky lze aplikovat na širokou skupinu struktur. Dokážeme-li v ní, že něco platí pro každou [[varieta algeber|varietu]], pak to platí pro všechny grupy, všechny svazy, všechny lineární prostory apod.
Výsledky univerzální algebry lze zobecnit ještě dále v [[Teorie kategorií|teorii kategorií]], ovšem ta již není odvětvím algebry, neboť zkoumá algebraické i jiné struktury.
[[Kategorie:Algebra]]
|