Určitý integrál: Porovnání verzí

== Značení ==

Integrál se značí stylizovaným protaženým písmenem ''S'' (z [[latina|latinského]] ''summa''). Toto značení vytvořil [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]]. Integrál z předchozího odstavce by se značil jako <math>\int\limits_a^b f(x)\,{\rm d}x</math>, kde znaménko ∫ značí integrování, ''a'' a ''b'' jsou integrační meze (jen u určitého integrálu), ''dx'' označuje proměnnou, podle které se integruje (původně označovalo [[infinitezimální hodnota|infinitezimální hodnotu]], dnes však slouží jen jako ryze symbolické označení bez dalšího významu).

 

== Definice ==

 

=== Newtonův integrál ===

 

<math>\int\limits_a^bf(x)dx \,=\, F(b) - F(a) \,\!</math> pro libovolnou [[Primitivní funkce|primitivní funkci]] <math>F\,\!</math>, tj. pro takovou <math>F\,\!</math>, jejíž derivace je rovna <math>f\,\!</math> na celém intervalu <math><a,b>\,\!</math>

=== Zobecněný Newtonův integrál ===

Definice je stejná, jako u Newtonova integrálu, ovšem stačí, pokud derivace <math>F\,\!</math>, je rovna <math>f\,\!</math> na intervalu <math><a,b>\,\!</math> až na konečně mnoho bodů. Díky tomu lze integrovat větší okruh funkcí (například po částech konstantní funkce).

 

=== Riemannův integrál ===

[[Bernhard Riemann|Riemann]] použil v roce [[1854]] závěry [[Augustin Louis Cauchy|Cauchyho]] a definoval tzv. [[Riemannův integrál]] jako [[limita|limitu]] [[nekonečno|nekonečného]] [[součet|součtu]]. Šlo o první definici integrálu odpovídající dnešním měřítkům.

 

 

=== Lebesgueův integrál ===

Na základě [[Lebesgueova míra|Lebesgueovy míry]] vytvořil [[Henri Lebesgue|Lebesgue]] tzv. [[Lebesgueův integrál]]. Má podobnou definici jako Riemannův, ale třída integrovatelných funkcí je v něm mnohem širší - dokonce se bez [[Axiom výběru|axiomu výběru]] nedá prokázat, že existuje funkce, která není Lebesgueovsky integrovatelná.