Věty o dimenzi: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
mBez shrnutí editace |
→Příklad: Přidání příkladu |
||
Řádek 56:
=== Příklad ===
Uvažujme vektorový prostor <math> \scriptstyle \mathbb{R}^5 </math> s klasicky definovanými operacemi sčítání a násobení vektoru číslem. Mějme v tomto prostoru dva [[lineární obal]]y tvaru
:<math> P = \left\{
\begin{pmatrix}
2 \\ 0 \\3 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2 \\ 5 \\3 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\0 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}
\right\}_\text{lin}, \quad
Q = \left\{
\begin{pmatrix}
3 \\ 1 \\3 \\ 3 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2 \\ 0 \\1 \\ 0 \\ 4
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 4 \\3 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
\right\}_\text{lin}.
</math>
Není těžké ukázat, že [[lineární obal|generátory lineárního obalu]] <math> \scriptstyle P</math> (tj. vektory vyobrazené ve složených závorkách) jsou lineárně nezávislé. Dimenze podprostoru <math> \scriptstyle P</math> je tedy 3 (mám tři lineárně nezávislé generátory). Podobně pro obal <math> \scriptstyle Q</math>. Z první věty o dimenzi plyne, že
:<math> \dim P + \dim Q = 3 + 3 = 6 = \dim (P + Q) + \dim (P \cap Q).</math>
Protože je ale součet <math> \scriptstyle P + Q</math> stále podprostorem pětidimenzionálního vektorového prostoru <math> \scriptstyle \mathbb{R}^5 </math>, nemůže jeho dimenze přesáhnout hodnotu 5. Ze vzorce výše tedy rovnou plyne, že průnik <math> \scriptstyle P \cap Q</math> je podprostor dimenze alespoň jedna. Existuje tedy nenulový vektor ležící v <math> \scriptstyle P</math> a současně v <math> \scriptstyle Q</math>. Tuto skutečnost jsme tedy odvodili čistě ze znalostí dimenzí podprostorů <math> \scriptstyle P</math> a <math> \scriptstyle Q</math>, aniž bychom blíže zkoumali jejich vlastnosti.
== Druhá věta o dimenzi ==
| |||