Verze z 17. 2. 2014, 22:15 editovat PastoriBot (diskuse \| příspěvky) Roboti 275 675 editací m narovnání přesměrování ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 30. 3. 2014, 17:50 editovat zrušit editaci Kolarp (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé 6 981 editací Vytvoření podkapitol, přesuny textu, souvislost násobnosti kořene a derivací Přejít na další porovnání →
Řádek 2: :<math>p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i}=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_n x^n</math>, kde <math>a_n \neq 0</math>. [[číslo\|Čísla]] <math>a_0, a_1, ..., a_n</math> se nazývají ''koeficienty polynomu''. Funkci <math>P</math> dvou [[proměnná\|proměnných]] <math>x \in R, y \in R</math> označíme jako polynom, pokud existují [[přirozené číslo\|přirozená čísla]] <math>n, m</math> a [[konstanta\|konstanty]] <math>a_{ij}</math> takové, že platí▼ :<math>P(x,y) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{ij} x^i y^j</math>.▼ == Stupeň polynomu == Řádek 32 ⟶ 29: :<math>f(x) = g(x) r(x) + s(x)</math> kde <math>s(x)</math> má stupeň menší než <math>m</math> nebo je nulovým polynomem. Pokud <math>s(x)</math> je nulový polynom, pak říkáme, že polynom <math>f(x)</math> je [[dělitelnost\|dělitelný]] polynomem <math>g(x)</math>. * Polynomy tvoří [[vektorový prostor]].▼ === Hornerovo schéma === * Zapišme polynomPolynom <math>p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i}</math> lze zapsat ve tvaru▼ :<math>p(x) = (...((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + ... + a_1)x + a_0</math>▼ Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu <math>p(x)</math> v bodě <math>x</math> postupem, který bývá označován jako ''[[Hornerovo schéma'']]. Zapíšeme-li▼ :<math>c_n = a_n</math>,▼ :<math>c_{n-1} = c_n x + a_{n-1}</math>,▼ :<math>c_{n-2} = c_{n-1} x + a_{n-2}</math>,▼ :…▼ :<math>c_0 = c_1 x + a_0</math>,▼ pak poslední číslo <math>c_0</math> představuje právě hodnotu polynomu <math>p(x)</math> v bodě <math>x</math>.▼ === Příklady === Řádek 53 ⟶ 64: Vzhledem k tomu, že <math>s(x) \neq 0</math>, není polynom <math>f(x)</math> dělitelný polynomem <math>g(x)</math>. == ~~Kořeny~~Kořen polynomu == Číslo <math>\alpha</math> se nazývá '''kořen polynomu''' <math>p(x)</math>, jestliže platí :<math>p(\alpha) = 0</math> Této skutečnosti, společně se [[základní věta algebry\|základní větou algebry]], se využívá při řešení [[algebraická rovnice\|algebraických rovnic]]. === ~~Derivace polynomu~~Vlastnosti === * Derivací polynomu <math> \sum_{i=0}^n a_i x^i </math> rozumíme polynom tvaru <math> \sum_{i=1}^{n} a_i\cdot i x^{i-1} </math>. Derivaci značíme <math> f</math> '▼ (Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)▼ * n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce▼ <math> f\ ^{(1)}=f</math> '▼ <math> f\ ^{(n)}=(f^{(n-1)})</math> '▼ ~~== Vlastnosti ==~~ * Je-li <math>\alpha</math> kořenem polynomu <math>p(x)</math> stupně <math>n \geq 1</math>, pak :<math>p(x) = (x - \alpha) g(x)</math>, Řádek 77: :<math>p(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_k) g(x)</math>, kde <math>\alpha_i</math> představují známé kořeny polynomu <math>p(x)</math>. Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu <math>p(x)</math> stačí hledat pouze kořeny polynomu <math>g(x)</math>, tzn. řešit rovnici <math>g(x) = 0</math>, neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu <math>p(x)</math>. Polynom <math>g(x)</math> získáme z polynomu <math>p(x)</math> jeho vydělením výrazem <math>(x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_k)</math>. === Rozklad na kořenové činitele === * Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom <math>p(x)</math> stupně <math>n \geq 1</math> lze zapsat ve tvaru :<math>p(x) = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)</math>, kde <math>\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n</math> jsou kořeny polynomu <math>p(x)</math>. Členy <math>(x - \alpha_i)</math> označujeme jako ''kořenové činitele''. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité). === Násobnost kořene === * Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát Řádek 104 ⟶ 108: :<math>\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n = (-1)^n a_0</math> == Derivace polynomu == ▲* Zapišme polynom <math>p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i}</math> ve tvaru ▲:<math>p(x) = (...((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + ... + a_1)x + a_0</math> ▲Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu <math>p(x)</math> v bodě <math>x</math> postupem, který bývá označován jako ''Hornerovo schéma''. Zapíšeme-li ▲:<math>c_n = a_n</math>, ▲:<math>c_{n-1} = c_n x + a_{n-1}</math>, ▲:<math>c_{n-2} = c_{n-1} x + a_{n-2}</math>, ▲:… ▲:<math>c_0 = c_1 x + a_0</math>, ▲pak poslední číslo <math>c_0</math> představuje právě hodnotu polynomu <math>p(x)</math> v bodě <math>x</math>. ▲* Derivací polynomu <math> \sum_{i=0}^n a_i x^i </math> rozumíme polynom tvaru <math> \sum_{i=1}^{n} a_i\cdot i x^{i-1} </math>. Derivaci značíme <math> f</math> ' ▲* Polynomy tvoří [[vektorový prostor]]. ▲(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.) ▲* n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce ▲<math> f\ ^{(1)}=f</math> ' ▲<math> f\ ^{(n)}=(f^{(n-1)})</math> ' === Souvislost derivace a násobnosti kořene === Číslo <math>\alpha</math> je ''k''-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu <math>k-1</math> (a není kořenem derivace řádu <math>k</math>). == Polynom dvou proměnných == ▲Funkci <math>P</math> dvou [[proměnná\|proměnných]] <math>x \in R, y \in R</math> označíme jako polynom, pokud existují [[přirozené číslo\|přirozená čísla]] <math>n, m</math> a [[konstanta\|konstanty]] <math>a_{ij}</math> takové, že platí ▲:<math>P(x,y) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{ij} x^i y^j</math>. == Související články ==

Polynom: Porovnání verzí