Přirozené číslo: Porovnání verzí

Přidáno 8 bajtů ,  před 5 lety
m
narovnání přesměrování
m (řádková verze {{Wikislovník}} do odkazů; kosmetické úpravy)
m (narovnání přesměrování)
* Na přirozených číslech můžeme definovat operaci [[sčítání]] takto: ''a'' + 0 = ''a'', ''a'' + ''S(b)'' = ''S(a + b)'' pro všechna ''a, b''. Tím se stane ('''N''', +) [[komutativní]]m [[monoid]]em s [[Neutrální prvek|neutrálním prvkem]] 0. Pokud definujeme ''S''(0) = 1, je ''S''(''a'') = ''S''(''a'' + 0) = ''a'' + ''S''(0) = ''a'' + 1, tzn. následníkem čísla ''a'' je číslo ''a'' + 1. Tento monoid je možné vnořit do [[Grupa|grupy]]; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsou [[Celé číslo|celá čísla]].
* Obdobně můžeme s využitím operace sčítání definovat operaci [[násobení]] takto: ''a'' * 0 = 0, ''a'' * (''b'' + 1) = (''a'' * ''b'') + ''a''. Tím se stane ('''N''', *) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 1. Sčítání a násobení splňují [[distributivní zákon]]: ''a'' * (''b'' + ''c'') = (''a'' * ''b'') + (''a'' * ''c''). ('''N''', +, *) je tedy komutativním [[polookruh]]em.
* Na přirozených číslech lze definovat [[úplné uspořádání]], kdy ''a'' ≤ ''b'' právě tehdy, když existuje přirozené číslo ''c'' tak, že ''a'' + ''c'' = ''b''. Přirozená čísla jsou [[DobréDobře uspořádáníuspořádaná množina|dobře uspořádaná]], tzn. každá neprázdná množina přirozených čísel má [[nejmenší prvek]].
* Na přirozených číslech neexistuje operace [[dělení]], neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady ''dělení se zbytkem'': pro libovolná dvě přirozená čísla ''a'', ''b'', kde ''b'' ≠ 0, můžeme najít taková přirozená čísla ''r'' a ''q'', že platí ''a'' = ''bq'' + ''r'' a zároveň ''r'' < ''b''. Číslu ''r'' pak říkáme [[zbytek po dělení]] čísla ''a'' číslem ''b'', číslo ''q'' je celočíselný podíl ''a'' a ''b''. Tato operace je základem mnoha vlastností ([[dělitelnost]]), postupů ([[Euklidův algoritmus]]) a idejí v [[Teorie čísel|teorii čísel]]. Na existenci a vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna část [[kryptografie]].
 
201 018

editací