Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m náhrada za jednotnou šablonu {{Upravit}} |
Doplnění obecného tvaru, kategorií a odkazů, oprava překlepů, typografie, literatura |
||
Řádek 1:
{{Upravit}}
<math>a_n y^{(n)}+ a_{n-1} y^{(n-1)}+ \cdots + a_1 y'+ a_0 y=g(x)</math>
kde
* <math>a_0, a_1, \ldots a_n</math> jsou konstanty, <math>a_n \neq 0</math> (bez újmy obecnosti můžeme předpokládat, že <math>a_n=1</math>)
* <math>x</math> je nezávislá proměnná,
* <math>y</math> je neznámá [[Funkce (matematika)|funkce]] proměnné <math>x</math>, tj. <math>y=y(x)</math>,
* <math>y', y'', \ldots y^{(n-1)}, y^{(n)}</math> jsou [[derivace]] funkce <math>y</math> až do řádu <math>n</math>
* <math>g(x)</math> je libovolná [[Funkce (matematika)|funkce]] proměnné <math>x</math>.
== Postup řešení ==
Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty vyřešíme nejdříve příslušnou '''homogenní rovnici''' (ve které je <math>g(x)</math> nahrazeno nulou). Pak je nutné nalézt jedno '''partikulární řešení''' původní rovnice. K tomu je možné použít metodu [[variace konstant]] nebo odhadnout řešení podle tvaru funkce <math>g(x)</math>. Řešení nehomogenní rovnice (tak zvaný '''obecný integrál''' diferenciální rovnice) je součtem obecného integrálu příslušné homogenní rovnice <math>y_h</math> a libovolného partikulárního integrálu <math>y_p</math> nehomogenní rovnice:
:<math>y = y_h + y_p</math>
kde <math>y_h</math> je obecné řešení homogenní rovnice příslušející k dané rovnici (tedy rovnice, v níž položíme <math>b(x)=0</math>) a <math>y_p</math> je libovolné [[řešení diferenciální rovnice|partikulární řešení]] nehomogenní rovnice.
=== Homogenní rovnice ===
Homogenní rovnice ''n''-tého řádu má tvar:
<math>a_n y^{(n)}+ a_{n-1} y^{(n-1)}+ \cdots + a_1 y'+ a_0 y=0</math>
Důležitou charakteristikou takovéto rovnice je [[charakteristická rovnice]]:
<math>a_n \lambda^n+ a_{n-1} \lambda^{n-1}+ \cdots + a_1 \lambda + a_0=0</math>
V případě, že má [[polynom]]
<math>y=C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} + \cdots + C_n e^{\lambda_n x} </math>
V přídadě, že má kořen <math>\lambda_i</math> [[násobnost kořene|násobnost]] ''k'', pak je zřejmé, že minulé řešení by neobsahovalo dostatečný počet integračních konstant. Zachrání nás skutečnost, že rovnici řeší i tyto lineárně nezávislé funkce:
<math>e^{\lambda_i x},x e^{\lambda_i x},x^2 e^{\lambda_i x},\cdots, x^{k-1} e^{\lambda_i x}</math>
Vidíme, že ke ''k''-násobnému kořenu jsme našli právě ''k'' [[lineární závislost|lineárně nezávislých]] řešení. '''Obecné řešení''' ('''obecný integrál''') je dáno jako [[lineární kombinace]] jmenovaných funkcí, ke každému kořenu s libovolnou [[násobnost kořene|násobností]]. Protože je součet [[násobnost kořene|násobností]] všech kořenů roven ''n'', má
== Literatura ==
* {{Citace monografie
| příjmení = Čuřík
| jméno = František
| odkaz na autora = František Čuřík
| titul = Matematika
| vydavatel = Česká matice technická
| vydání = 2
| místo = Praha
| rok = 1944
}}
* {{Citace monografie
| titul = Aplikovaná matematika
| edice = Oborové encyklopedie
| vydavatel = SNTL - Nakladatelství technické literatury
| místo = Praha
| rok = 1978
}}
== Související články ==
* [[Obyčejná diferenciální rovnice]]
* [[Lineární diferenciální rovnice]]
{{Portály|Matematika}}
[[Kategorie:Obyčejné diferenciální rovnice]]
[[Kategorie:Diferenciální rovnice]]
[[Kategorie:Diferenciální počet]]
[[Kategorie:Rovnice]]
| |||