142857

142857 je šest periodických číslic čísla 1/7, $0.{\overline {142857}}$, jedná se pravděpodobně o nejznámější cyklické číslo v desítkové soustavě. Pokud je vynásobeno 2, 3, 4, 5, nebo 6, výsledek je cyklická permutace sebe sama a koresponduje s opakujícími se číslicemi 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, a 6/7.

Výpočty

1 × 142,857 = 142,857

2 × 142,857 = 285,714

3 × 142,857 = 428,571

4 × 142,857 = 571,428

5 × 142,857 = 714,285

6 × 142,857 = 857,142

7 × 142,857 = 999,999

Pokud jej vynásobíte číslem větším než 7, existuje poměrně jednoduchý proces jak dostat opět cyklickou permutaci čísla 142857. Sečtením pravých šesti číslic se zbylými číslicemi a opakováním, dokud nezůstane pouze 6 číslic. Vznikne opět cyklická permutace 142857 (viz příklad).

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

142857² = 142857 × 142857 = 20408122449

20408 + 122449 = 142857

Násobením násobkem čísla 7 vyjde opět po použití předešlého procesu číslo 999999.

142857 × 7⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Pokud umocníte poslední 3 číslice a odečtete kvadrát prvních třech číslic, táké dostanete cyklickou permutaci původního čísla. (V příkladu uvedeno 6×142857)

857² = 734449

142² = 20164

734449 − 20164 = 714285

Následující výpočty ukazují jak korespondují násobky čísla 142857 s násobky 1/7

1 ÷ 7 = 0.142857

2 ÷ 7 = 0.285714

3 ÷ 7 = 0.428571

4 ÷ 7 = 0.571428

5 ÷ 7 = 0.714285

6 ÷ 7 = 0.857142

7 ÷ 7 = 0.999999 = 1

8 ÷ 7 = 1.142857

9 ÷ 7 = 1.285714

…

1/7 jako nekonečná řada

Je tu zajímavý model, podle kterého jde tato nekonečná řada sestavit. Krom toho, že se 1/7 skládá z opakování 142857, lze číslo napsat i s využitím zdvojení, řazení a sčítání, která dává 1/7.

${\begin{aligned}1/7\ &=0.142857142857142857\ldots \\[6pt]&=0.14+0.0028+0.000056+0.00000112+0.0000000224+0.000000000448+0.00000000000896+\cdots \\[6pt]&={\frac {14}{100}}+{\frac {28}{100^{2}}}+{\frac {56}{100^{3}}}+{\frac {112}{100^{4}}}+{\frac {224}{100^{5}}}+\cdots +{\frac {7\times 2^{N}}{100^{N}}}+\cdots \\[6pt]&=\left({\frac {7}{50}}+{\frac {7}{50^{2}}}+{\frac {7}{50^{3}}}+{\frac {7}{50^{4}}}+{\frac {7}{50^{5}}}+\cdots +{\frac {7}{50^{N}}}+\cdots \right)\\[6pt]&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {7}{50^{k}}}\end{aligned}}$

Každý termín je dvojnásobek předchozího posunutý o dvě místa doprava.

Externí odkazy

• Stránka čísla 142857
• 142857 Kalkulačka