Nyquistův–Shannonův vzorkovací teorém: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Bez shrnutí editace |
Verze 10955719 uživatele 188.120.213.26 (diskuse) zrušena |
||
Řádek 1:
'''Shannonův teorém''' ('''Nyquistův teorém''', '''Kotělnikovův teorém''', '''Nyquistův-Shannonův teorém''', '''Shannonův-Nyquistův-Kotělnikovův teorém''', apod.)
''„Přesná rekonstrukce spojitého, frekvenčně omezeného, signálu z jeho vzorků je možná tehdy, pokud byla vzorkovací frekvence vyšší než dvojnásobek nejvyšší harmonické složky vzorkovaného signálu.“''
== Shannonův teorém a vzorkovací frekvence v praxi ==
V praxi se tedy vzorkovací [[frekvence]] volí dvakrát větší plus ještě malá rezerva než je maximální požadovaná přenášená frekvence. V [[telekomunikace|telekomunikacích]] je to např. 8 [[Hertz|kHz]] neboť je třeba přenášet pouze signály ve standardním telefonním pásmu (od 0,3 do 3,4 kHz zaokrouhleno směrem nahoru 4 kHz). Například u záznamu na [[Kompaktní disk|CD]] je to 44,1 kHz neboť průměrné zdravé lidské [[ucho]] slyší maximálně cca do 20 kHz a tudíž vzorkovací frekvence 44,1 kHz byla zvolena s určitou rezervou.
Shannonův teorém lze vyjádřit vztahem : tv≤1/2fmax [s]; Tv je interval mezi dvěma vzorky,fmax je maximální frekvence signálu.
V případě použití nižší vzorkovací frekvence může dojít k tzv. [[aliasing]]u, kdy rekonstruovaný signál je výrazně odlišný od původního vzorkovaného signálu.
== Shannonův teorém pro vzorkování obrazu ==
<!--
Na této stránce je uveden Shannonův teorém pro vzorkování obrazu.
-->
Nechť ''f(x,y)'' je spojitá funkce obrazu. [[Vzorkování|Vzorkováním]] funkce ''f(x,y)'' rozumíme reprezentaci této funkce pomocí matice (označme ji ''d(x,y)'').
Dále definujme '''[[konvoluce|konvoluci]]''' dvou funkcí ''f(x)'',''g(x)''∈''L<sub>1</sub>'' jako
:<math>f(x)*g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(x-t)dt</math>
Označme ''F(u,v)'' jako [[Fourierova transformace|Fourierovu transformaci]] funkce ''f(x,y)''.
Definujme ještě tzv. '''delta funkci''' δ, pro kterou platí:
:<math>\delta(x) = 0 \Leftrightarrow x\neq 0 </math>
:<math>\delta(x) = ? \Leftrightarrow x=0 </math>
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx = 1</math>
Pak vzorkování s krokem Δx, Δy je pouze násobení funkce obrazu nekonečným polem delta funkcí ''s(x,y)'' definovaným jako
:<math>s(x,y) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \delta(x-i\Delta x, y-j\Delta y)</math>
Tedy: ''d(x,y)'' = ''f(x,y)s(x,y)''
Platí, že Fourieova transformace funkce ''s(x,y)'' má tvar,
:<math>
S(u,v) = \frac{1}{\Delta x \Delta y}\sum_{i=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \delta(u-\frac{i}{\Delta x}, v-\frac{j}{\Delta y})
</math>
Díky konvolučnímu teorému, který říká:
:<math>f(x)*g(x)=F(u)G(u)\,</math>
:<math>f(x)g(x)=F(u)*G(u)\,</math>
platí, že
:<math>D(u,v) = F(u,v)*S(u,v)\,</math>
Vzorkování je pak [[konvoluce]] Fourierova obrazu ''F'' funkce ''f'' s polem delta funkcí ''D''. To znamená, že D(u,v) je nekonečné pole Fourierových obrazů funkce ''f''. Při vzorkování s menším krokem se tyto obrazy od sebe vzdalují a naopak při vzorkování s delším krokem se k sobě přibližují. Pokud vzorkujeme příliš řídce, mohou se tyto obrazy protnout a vzniká efekt zvaný [[aliasing]]. Pokud je funkce frekvenčně omezená, je možné ji navzorkovat beze ztráty informace (tzn., že je možné ze vzorků opět získat funkci ''f'' v původní podobě).
Dle Shannonova teorému je pak ideální frekvence pro vzorkování rovna dvojnásobku maximální frekvence vyskytující se ve funkci ''f''. Při vzorkování s krokem menším, než je polovina periody maximální frekvence, vzorkuji zbytečně moc. Při kroku větším než polovina periody maximální frekvence se Fourierovy obrazy protnou a vzniká alias.
== Související články ==
* [[Aliasing]]
[[Kategorie:
[[Kategorie:Funkcionální analýza]]
[[Kategorie:Zpracování digitálního signálu]]
| |||