Nyquistův–Shannonův vzorkovací teorém: Porovnání verzí

Verze 10955719 uživatele 188.120.213.26 (diskuse) zrušena
(Verze 10955719 uživatele 188.120.213.26 (diskuse) zrušena)
'''Shannonův teorém''' ('''Nyquistův teorém''', '''Kotělnikovův teorém''', '''Nyquistův-Shannonův teorém''', '''Shannonův-Nyquistův-Kotělnikovův teorém''', apod.)
Vayeni kantori, pred tim, nez skopirujete celi text z wikipedie pro sve studenty, yredukujte pocet slov a informaci. Studenti jsou nasrani....
 
''„Přesná rekonstrukce spojitého, frekvenčně omezeného, signálu z jeho vzorků je možná tehdy, pokud byla vzorkovací frekvence vyšší než dvojnásobek nejvyšší harmonické složky vzorkovaného signálu.“''
 
== Shannonův teorém a vzorkovací frekvence v praxi ==
 
V praxi se tedy vzorkovací [[frekvence]] volí dvakrát větší plus ještě malá rezerva než je maximální požadovaná přenášená frekvence. V [[telekomunikace|telekomunikacích]] je to např. 8 [[Hertz|kHz]] neboť je třeba přenášet pouze signály ve standardním telefonním pásmu (od 0,3 do 3,4 kHz zaokrouhleno směrem nahoru 4 kHz). Například u záznamu na [[Kompaktní disk|CD]] je to 44,1 kHz neboť průměrné zdravé lidské [[ucho]] slyší maximálně cca do 20 kHz a tudíž vzorkovací frekvence 44,1 kHz byla zvolena s určitou rezervou.
 
Shannonův teorém lze vyjádřit vztahem : tv≤1/2fmax [s]; Tv je interval mezi dvěma vzorky,fmax je maximální frekvence signálu.
 
V případě použití nižší vzorkovací frekvence může dojít k tzv. [[aliasing]]u, kdy rekonstruovaný signál je výrazně odlišný od původního vzorkovaného signálu.
 
== Shannonův teorém pro vzorkování obrazu ==
<!--
Na této stránce je uveden Shannonův teorém pro vzorkování obrazu.
-->
Nechť ''f(x,y)'' je spojitá funkce obrazu. [[Vzorkování|Vzorkováním]] funkce ''f(x,y)'' rozumíme reprezentaci této funkce pomocí matice (označme ji ''d(x,y)'').
 
Dále definujme '''[[konvoluce|konvoluci]]''' dvou funkcí ''f(x)'',''g(x)''&isin;''L<sub>1</sub>'' jako
 
:<math>f(x)*g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(x-t)dt</math>
 
Označme ''F(u,v)'' jako [[Fourierova transformace|Fourierovu transformaci]] funkce ''f(x,y)''.
 
Definujme ještě tzv. '''delta funkci''' δ, pro kterou platí:
 
:<math>\delta(x) = 0 \Leftrightarrow x\neq 0 </math>
 
:<math>\delta(x) = ? \Leftrightarrow x=0 </math>
 
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx = 1</math>
Shannonův teorém
 
Pak vzorkování s krokem &Delta;x, &Delta;y je pouze násobení funkce obrazu nekonečným polem delta funkcí ''s(x,y)'' definovaným jako
 
:<math>s(x,y) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \delta(x-i\Delta x, y-j\Delta y)</math>
 
Tedy: ''d(x,y)'' = ''f(x,y)s(x,y)''
 
Platí, že Fourieova transformace funkce ''s(x,y)'' má tvar,
 
:<math>
Skočit na: Navigace, Hledání
S(u,v) = \frac{1}{\Delta x \Delta y}\sum_{i=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \delta(u-\frac{i}{\Delta x}, v-\frac{j}{\Delta y})
</math>
 
 
Shannonův teorém (Nyquistův teorém, Kotělnikovův teorém, Nyquistův-Shannonův teorém, Shannonův-Nyquistův-Kotělnikovův teorém, apod.)
„Přesná rekonstrukce spojitého, frekvenčně omezeného, signálu z jeho vzorků je možná tehdy, pokud byla vzorkovací frekvence vyšší než dvojnásobek nejvyšší harmonické složky vzorkovaného signálu.“
Shannonův teorém a vzorkovací frekvence v praxi[editovat zdroj]
V praxi se tedy vzorkovací frekvence volí dvakrát větší plus ještě malá rezerva než je maximální požadovaná přenášená frekvence. V telekomunikacích je to např. 8 kHz neboť je třeba přenášet pouze signály ve standardním telefonním pásmu (od 0,3 do 3,4 kHz zaokrouhleno směrem nahoru 4 kHz). Například u záznamu na CD je to 44,1 kHz neboť průměrné zdravé lidské ucho slyší maximálně cca do 20 kHz a tudíž vzorkovací frekvence 44,1 kHz byla zvolena s určitou rezervou.
Shannonův teorém lze vyjádřit vztahem : tv≤1/2fmax [s]; Tv je interval mezi dvěma vzorky,fmax je maximální frekvence signálu.
V případě použití nižší vzorkovací frekvence může dojít k tzv. aliasingu, kdy rekonstruovaný signál je výrazně odlišný od původního vzorkovaného signálu.
Shannonův teorém pro vzorkování obrazu[editovat zdroj]
Nechť f(x,y) je spojitá funkce obrazu. Vzorkováním funkce f(x,y) rozumíme reprezentaci této funkce pomocí matice (označme ji d(x,y)).
Dále definujme konvoluci dvou funkcí f(x),g(x)∈L1 jako
Označme F(u,v) jako Fourierovu transformaci funkce f(x,y).
Definujme ještě tzv. delta funkci δ, pro kterou platí:
Pak vzorkování s krokem Δx, Δy je pouze násobení funkce obrazu nekonečným polem delta funkcí s(x,y) definovaným jako
Tedy: d(x,y) = f(x,y)s(x,y)
Platí, že Fourieova transformace funkce s(x,y) má tvar,
Díky konvolučnímu teorému, který říká:
platí, že
Vzorkování je pak konvoluce Fourierova obrazu F funkce f s polem delta funkcí D. To znamená, že D(u,v) je nekonečné pole Fourierových obrazů funkce f. Při vzorkování s menším krokem se tyto obrazy od sebe vzdalují a naopak při vzorkování s delším krokem se k sobě přibližují. Pokud vzorkujeme příliš řídce, mohou se tyto obrazy protnout a vzniká efekt zvaný aliasing. Pokud je funkce frekvenčně omezená, je možné ji navzorkovat beze ztráty informace (tzn., že je možné ze vzorků opět získat funkci f v původní podobě).
Dle Shannonova teorému je pak ideální frekvence pro vzorkování rovna dvojnásobku maximální frekvence vyskytující se ve funkci f. Při vzorkování s krokem menším, než je polovina periody maximální frekvence, vzorkuji zbytečně moc. Při kroku větším než polovina periody maximální frekvence se Fourierovy obrazy protnou a vzniká alias.
Související články[editovat zdroj]
Aliasing
 
 
 
Kategorie: Matematická analýza
Funkcionální analýza
Zpracování digitálního signálu
 
 
 
Navigační menu
 
 
 
 
Vytvořit účet
Přihlaste se
 
 
 
Článek
Diskuse
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Číst
 
Editovat zdroj
Zobrazit historii
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hlavní strana
Portál Wikipedie
Aktuality
Pod lípou
Poslední změny
Náhodný článek
Nápověda
Podpořte Wikipedii
 
Tisk/export
 
Vytvořit knihu
Stáhnout jako PDF
Verze k tisku
 
Nástroje
 
 
 
 
:<math>f(x)*g(x)=F(u)G(u)\,</math>
 
:<math>f(x)g(x)=F(u)*G(u)\,</math>
 
platí, že
 
:<math>D(u,v) = F(u,v)*S(u,v)\,</math>
 
Vzorkování je pak [[konvoluce]] Fourierova obrazu ''F'' funkce ''f'' s polem delta funkcí ''D''. To znamená, že D(u,v) je nekonečné pole Fourierových obrazů funkce ''f''. Při vzorkování s menším krokem se tyto obrazy od sebe vzdalují a naopak při vzorkování s delším krokem se k sobě přibližují. Pokud vzorkujeme příliš řídce, mohou se tyto obrazy protnout a vzniká efekt zvaný [[aliasing]]. Pokud je funkce frekvenčně omezená, je možné ji navzorkovat beze ztráty informace (tzn., že je možné ze vzorků opět získat funkci ''f'' v původní podobě).
 
Dle Shannonova teorému je pak ideální frekvence pro vzorkování rovna dvojnásobku maximální frekvence vyskytující se ve funkci ''f''. Při vzorkování s krokem menším, než je polovina periody maximální frekvence, vzorkuji zbytečně moc. Při kroku větším než polovina periody maximální frekvence se Fourierovy obrazy protnou a vzniká alias.
 
== Související články ==
V jiných jazycích
 
* [[Aliasing]]
العربية
Català
Deutsch
English
Esperanto
Español
Suomi
Français
עברית
Italiano
日本語
한국어
मराठी
Nederlands
Polski
Português
Русский
Slovenščina
Basa Sunda
Svenska
தமிழ்
Українська
Tiếng Việt
中文
Upravit odkazy
Stránka byla naposledy editována 7. 4. 2013 v 16:44.
Text je dostupný pod licencí Creative Commons Uveďte autora – Zachovejte licenci 3.0 Unported, případně za dalších podmínek. Podrobnosti naleznete na stránce Podmínky užití.
Ochrana osobních údajů
O Wikipedii
Vyloučení odpovědnosti
Vývojáři
Mobilní verze
 
[[Kategorie:PCMatematická analýza]]
[[Kategorie:Funkcionální analýza]]
[[Kategorie:Zpracování digitálního signálu]]
Neregistrovaný uživatel