Komplexní analýza

Komplexní analýza, tradičně známá jako teorie funkcí komplexní proměnné, je obor matematické analýzy, který zkoumá funkce komplexních čísel. Je užitečná v mnoha odvětvích matematiky, včetně oborů jako algebraická geometrie, teorie čísel, aplikovaná matematika; ale i ve fyzice, např. v oborech jako hydrodynamika, termodynamika, mechanické inženýrství a elektrotechnika.

Graf funkce f(x) = (x² − 1)(x − 2 − i)² / (x² + 2 + 2i). Barva reprezentuje argument funkce, a jas reprezentuje magnitudu (velikost).

Murray R. Spiegel napsal, že komplexní analýza je "jeden z nejhezčích a nejužitečnějších oborů matematiky".

Komplexní analýza se nejvíc zabývá analytickými funkcemi komplexních proměnných (nebo víc obecně, meromorfickými funkcemi). Protože separátní reální a imaginární části každé analytické funkce musí splňovat Laplaceho rovnici, komplexní analýza je široko aplikovatelná na dvoudimenzionální problémy ve fyzice.

Historie

Mandelbrotova množina, fraktál.

Komplexní analýza je jeden z komplexních oborů matematiky s kořeny v 19. století i dříve. Zabývali se ní známí matematici jako Euler, Gauss, Bernhard Riemann, Cauchy, Weierstrass a mnoho dalších v 20. století. Komplexní analýza, zejména teorie konformních zobrazení má mnoho fyzikálních aplikací a používá se i v analytické teorii čísel. V současnosti se stala velmi populární díky novým podnětům z komplexní dynamiky a díky obrázkům fraktálů produkovaných iterací holomorfických funkcí. Další důležitá aplikace komplexní analýzy je v teorii strun, která studuje konformní invarianty v teorii kvantového pole.

Komplexní funkce

Komplexní funkce je funkce (matematika), kde nezávislá proměnná i závislá proměnná jsou obě komplexní čísla. Přesněji, komplexní funkce je funkce, u které definiční obor i obor hodnot jsou podmnožiny komplexní roviny.

Pro každou komplexní funkci nezávislá proměnná i závislá proměnná mohou být separovány na reální a imaginární části:

$z=x+iy\,$ a

$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,$

kde $x,y\ ve\mathbb {R} \,$ a $u(x,y),v(x,y)\,$ jsou funkce s reálnými hodnotami.

Jinými slovy, složky funkce f(z),

$u=u(x,y)\,$ a

$v=v(x,y),\,$

lze interpretovat jako reálné funkce dvou reálních proměnných, x a y.

Základní koncepty komplexní analýzy se často představují rozšířením elementárních reálních funkcí (např. exponenciální funkce, logaritmická funkce a trigonometrická funkce) do komplexní domény.

Holomorfické funkce

Holomorfické funkce jsou komplexní funkce definované na otevřené podmožině komplexní roviny, které jsou diferencovatelné. Komplexní diferencovatelnost má mnohem větší důsledky jako obvyklá (reálná) diferencovatelnost.

Zdroj

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Complex analysis na anglické Wikipedii.