Umocňování: Porovnání verzí

V tomto vzorci se ''<math>a''</math> označuje jako ''základ mocniny'' (mocněnec) a ''<math>b''</math> se nazývá ''exponent'' (mocnitel). Výsledek je ''„<math>b''</math>-tá ''mocnina'' čísla ''<math>a''</math>“, ''„<math>a''</math> na ''<math>b''</math>-toutou“. Například <math>3 \cdot3cdot 3 \cdot3cdot 3 \cdot3cdot 3 = 81</math> je tři„tři na čtvrtoučtvrtou“, což zapisujeme <math>3^4</math>. Speciálním případem prázdného součinu je ''a''<supmath>a^0 = 1</supmath>&nbsp;=&nbsp;1 (pro ''<math>a''&nbsp;≠&nbsp; \ne 0</math>, viz [[#Nula na nultou|níže]]).

Tato funkce je vlastně [[posloupnost]] definovatelná rekurentně: Pro <math>a \ne 0</math> je <math>a^0=1</math> a <math>a^{n+1}=a^n \cdot a</math> (pro <math>a=0</math> je <math>a^n = 0</math> (pro <math>n>0</math>).

Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru ''<code>a^b''</code>, někdy také ''<code>a**b''</code>.

Mocniny s [[komplexní číslo|komplexním]] základem jsou definovány následujícím způsobem: Je-li <math>a + b i = r \cdot e^{i\varphi}</math> s reálnými čísly ''<math>a, b, n, r'' > 0</math> a ''φ''<math>\varphi</math>, pak platí (viz [[Moivrova věta|Moivrovu větu]])

z^n\equiv (a+b\;ibi)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi))

Pokud je navíc exponentkomplexním ''a''číslem čísloi obecněexponent komplexní<math>a</math>, pak je mocnina dána jako

:<math>z^a=e^{a \operatorname{Ln\ } z}=e^{a\left(\operatorname{ln}|z|+i\varphi\right)},</math>

kde argument ''φ''<math>\varphi</math> má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla ''φ''<math>\varphi</math> z intervalu <math>\left< 0;2π 2\pi \right)</math> nebo <math>\left( -π\pi;π \pi \right></math>. Tedy mocnina je obecně [[mnohoznačná funkce]] a pokud není ''<math>a''</math> [[celé číslo]], mocnina není na celé [[komplexní rovina|komplexní rovině]] [[holomorfní funkce|holomorfní]].

* <math>\left(a \cdot b ab\right)^x = a^x \cdot b^x</math> (pro reálné <math>x</math> a kladná reálná <math>a, b</math>; pro celočíselné <math>x</math> platí pro všechna nenulová <math>a, b</math>).

* <math>\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x},\quad b\neq 0</math> (za stejných podmínek jako předchozí)

* <math>\left(a^x\right)^y = a^{xy}</math> (pro reálná <math>x\cdot, y}</math>)

* <math>a^0 = 1</math> pro ''<math>a'' ≠\ne 0</math> (pro 0⁰ viz [[#Nula na nultou|níže]])