Eukleidovská geometrie: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Bez shrnutí editace |
|||
Řádek 3:
[[Eukleidés]] se v [[Eukleidovy Základy|Základech]] věnuje nejen geometrii, ale také měření a [[teorie čísel|teorii čísel]]. Geometrie však byla jeho axiomatickým přístupem ovlivněna pravděpodobně nejvíce, proto dnes bývá Eukleidés spojován především s rozvojem geometrie.
Dílo se skládá celkem ze 13 knih. Knihy I-VI jsou věnovány rovinné geometrii, knihy VII-IX jsou aritmetické a část jejich výsledku je aplikována na studium iracionalit v knize X. Knihy XI-XIII se zabývájí prostorovou geometrií neboli stereometrií. Na začátku každé knihy jsou uvedeny definice (výměry) užívaných pojmů. Nejde však o definice, jak je dnes chápeme, tj. vymezit nový termín nějakými již definovanými pojmy. V ideálním geometrickém světě nebylo čím vymezovat; tam totiž bylo vše nové, dosud nepojmenované
| příjmení = Vopěnka
| jméno = Petr
| titul = Eukleides, Základy
| vydavatel = OPS
| místo = Nymburk
| rok = 2008
| jazyk = česky
}}</ref> .
== Kniha I ==
Řádek 51 ⟶ 59:
=== Eukleidovy axiomy (Obecné zásady)===
Nejedná se o axiomy v dnešním slova smyslu, ale spíše o všeobecně platná pravidla – zřejmé pravdy v ideálním antickém světě.
#Veličiny témuž rovné jsou si rovny i navzájem.
#Když se přidají veličiny rovné k rovným, i celky se rovnají.
#Odejmou-li se od rovných rovné, zbývající části jsou si rovny.
#Když se přidají veličiny rovné k nerovným, i celky se nerovnají.
#Dvojnásobky téhož se navzájem rovnají.
#Poloviny téhož se navzájem rovnají.
#Co se navzájem překrývá, navzájem se rovná.
#Celek je větší než část.
#Dvě samotné úsečky žádný útvar neohraničují.
=== Věty ===
Na základě postulátů a axiomů dokázal Eukleidés věty o [[geometrický útvar|geometrických útvarech]].
#Sestrojit [[rovnostranný trojúhelník]].▼
# V [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlém trojúhelníku]] se [[obsah]] [[čtverec|čtverce]] proti pravému úhlu rovná součtu obsahů čtverců u pravého úhlu. (při rozebírání této úlohy Eukleidés provádí důkaz [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]]) ▼
#Z daného bodu sestrojte úsečku shodnou s danou úsečkou.
#Jsou-li dány dvě úsečky různé velikosti, odečti od větší úsečky délku úsečky kratší.
#Jestliže dva trojúhelníky mají shodné dvě strany i úhel jimi sevřený, pak jsou tyto trojúhelníky shodné. Mají shodné všechny strany i úhly. (sus)
#V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly při základně shodné. Prodloužíme-li shodné strany (ramena), úhly pod základnou budou též shodné.
#Má-li trojúhelník dva úhly shodné, pak jsou shodné i strany ležící proti těmto úhlům.
#Trojúhelník je jednoznačně zadán jednou stranou a délkami zbývajících dvou stran. (až na symetrii)
#Shodují-li se dva trojúhelníky ve všech třech sobě odpovídajících stranách, pak mají shodné i všechny úhly (sss).
#Rozpulte daný úhel. (Sestrojte osu úhlu)
#Rozpulte danou úsečku. (Sestrojte osu úsečky)
#Z daného bodu na úsečce vztyčte kolmici.
#Spusťte z daného bodu kolmici k dané úsečce.
#Součet sousedních úhlů protínajících se úseček je rovný dvěma pravým úhlům.
#Když mají dva úhly společnou úsečku a jejich součet je rovný dvěma pravým úhlům, pak leží zbývající ramena úhlu v jedné úsečce.
#Vrcholové úhly dvou protínajících se úseček jsou shodné.
#Prodloužíme-li stranu trojúhelníku, bude vždy vnější úhel větší než kterýkoliv protější úhel vnitřní.
#V každém trojúhelníku je součet kterýchkoliv dvou úhlů menší než dva pravé úhly.
#V každém trojúhelníku leží proti delší straně větší úhel.
#V každém trojúhelníku leží proti většímu úhlu delší strana.
#V každém trojúhelníku jsou libovolné dvě strany dohromady větší než strana zbývající.
#Když z vrcholů jedné ze stran trojúhelníku sestrojíme úsečky, jež se protínají uvnitř trojúhelníka, bude součet těchto úseček menší než součet zbylých dvou stran trojúhelníku, budou však svírat větší úhel.
#Sestrojte trojúhelník daný velikostmi tří stran. Nutnou podmínkou je, aby součet kterýchkoliv dvou stran byl větší než strana zbývající.
#Na dané úsečce a z daného bodu na ní sestrojte úhel shodný s daným úhlem.
#Jestliže mají dva trojúhelníky shodné dvě strany a úhel jimi sevřený je různý, pak jsou i zbývající strany různé.
#Jestliže mají dva trojúhelníky shodné dvě strany a třetí stranu různou, pak je také různý úhel sevřený shodnými stranami.
#Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou úhlech a jedné straně, pak mají shodné i zbývající strany a úhly. (usu)
#Když úsečka protíná dvě dané úsečky ve shodných střídavých úhlech, jsou tyto úsečky rovnoběžné.
#Když úsečka protíná dvě dané úsečky ve shodných souhlasných úhlech, jsou tyto úsečky rovnoběžné.
#Protíná-li úsečka dvě rovnoběžky, pak jsou souhlasné i střídavé úhly rovné. Součet souhlasného a střídavého úhlu je rovný dvěma pravým úhlům.
#Všechny rovnoběžky dané úsečky jsou vzájemně rovnoběžné.
#Daným bodem veďte rovnoběžku s danou úsečkou.
#V každém trojúhelníku se vnější úhel, prodlouží-li se jedna ze stran trojúhelníku, rovná dvěma protilehlým vnitřním úhlům a součet všech tří vnitřních úhlů je rovný dvěma pravým úhlům.
#Úsečky spojující krajní body dvou shodných rovnoběžných úseček na stejné straně jsou také samy shodné a rovnoběžné.
#Rovnoběžníky mají protější strany i úhly navzájem shodné a úhlopříčkou se půlí.
#Rovnoběžníky sestrojené nad společnou základnou a mezi týmiž rovnoběžkami mají stejný obsah.
#Rovnoběžníky se shodnou základnou sestrojené mezi týmiž rovnoběžkami mají stejný obsah.
#Trojúhelníky sestrojené nad společnou základnou a mezi týmiž rovnoběžkami mají stejný obsah.
#Trojúhelníky se shodnou základnou sestrojené mezi rovnoběžkami mají stejný obsah.
#Trojúhelníky se stejným obsahem a společnou základnou musí na téže straně ležet mezi společnými rovnoběžkami.
#Trojúhelníky se stejným obsahem a shodnou základnou musí na téže straně ležet mezi společnými rovnoběžkami.
#Když má trojúhelník s rovnoběžníkem společnou základnu a jsou-li sestrojeny mezi týmiž rovnoběžkami, má rovnoběžník dvakrát větší obsah než trojúhelník.
#Sestrojte rovnoběžník se stejným obsahem jako daný trojúhelník, je-li dán jeho vnitřní úhel.
#V každém rovnoběžníku mají doplňky rovnoběžníků nad úhlopříčkou stejný obsah.
#Sestrojte rovnoběžník se stejným obsahem jako daný trojúhelník, je-li dán jeden jeho úhel a jedna strana.
#Sestrojte rovnoběžník se stejným obsahem jako daný čtyřúhelník, je-li dán jeho vniřní úhel.
#Nad danou úsečkou sestrojte čtverec.
▲# V [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlém trojúhelníku]] se [[obsah]] [[čtverec|čtverce]] proti pravému úhlu rovná součtu obsahů čtverců u pravého úhlu. (při rozebírání této úlohy Eukleidés provádí důkaz [[Pythagorova věta|
#Jestliže v trojúhelníku obsah čtverce u jedné ze stran se rovná součet obsahů čtverců u zbývajících dvou stran trojúhelníku, pak úhel mezi těmito zbývajícími dvěma stranami je pravý. (Eukleidés toto tvrzení dokazuje pomocí předchozí věty. Zároveň se zde objevuje formulace, která byla později nazvána [[Eukleidova věta|Eukleidovou větou o výšce]])
== Citace a reference ==
* [http://aleph0.clarku.edu/%7Edjoyce/java/elements/toc.html Anglické zpracování Eukleidových Základů na internetu]
* Casey, John: The Elements of Euclid, 3. vydání, Londýn 1885
| |||