Eukleidovská geometrie: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
m napřímení odkazu
Bez shrnutí editace
Řádek 1:
'''Eukleidovská''' (někdy také '''elementární''' nebo '''Eukleidova''') '''[[geometrie]]''' je založena na [[definice|definicích]] a [[axiom]]ech, které publikoval [[Eukleidés]] v publikacidíle označované[[Eukleidovy jakoZáklady|Základy]] ''Základy''(lat. Eukleidova geometrie je nejstarší částí geometrieElementa).
 
[[Eukleidés]] se v ''[[Eukleidovy Základy|Základech'']] věnuje nejen geometrii, ale také [[měření]] a [[teorie čísel|teorii čísel]]. Geometrie však byla jeho axiomatickým přístupem ovlivněna pravděpodobně nejvíce, proto dnes bývá Eukleidés spojován především s rozvojem geometrie.
 
Dílo se skládá celkem ze 13 knih. Knihy I-VI jsou věnovány rovinné geometrii, knihy VII-IX jsou aritmetické a část jejich výsledku je aplikována na studium iracionalit v knize X. Knihy XI-XIII se zabývájí prostorovou geometrií neboli stereometrií. Na začátku každé knihy jsou uvedeny definice (výměry) užívaných pojmů. Nejde však o definice, jak je dnes chápeme, tj. vymezit nový termín nějakými již definovanými pojmy. V ideálním geometrickém světě nebylo čím vymezovat; tam totiž bylo vše nové, dosud nepojmenované.
Eukleidés se zabýval pouze ''[[rovinná geometrie|geometrií rovinnou]]'', tzv. ''planimetrie'', a ''[[Stereometrie|prostorovou]]'', tzv. ''stereometrie''.
 
== Kniha I ==
Eukleidés zavádí 23 definic, v nichž se pokouší definovat pojmy jako [[bod]], [[čára]], [[přímka]] apod. Např. uvádí, že bod je to, co nemá části, úsečka je délka bez šířky atd.
První kniha vypracovává teorii trojúhelníku a rovnoběžníku. Na začátku první knihy jsou uvedeny i obecné principy (axiomy) a [[postulát|postuláty]] platné pro celé dílo.
=== Definice (Základní pojmy) ===
Jedná se o seznam velmi nepřímých popisů, které nám mají usnadnit pojmenování základních druhů geometrických objektů názvy.
Navozujeme příslušné druhy geometrických objektů prostřednictvím pojmů vytvořených pro jim podobné jevy reálného světa.
 
# ''Bod'' je to, co nemá části.
== Eukleidovy postuláty ==
# ''Čára'' je délka bez šířky.
Eukleidés dále uvádí 5 [[postulát|postulátů]], z nichž lze všechny další pojmy [[logika|logicky]] odvodit. Jedná se o následující postuláty.
# Hranice čáry jsou body.
# Máme-li dány dva body, existuje jedna [[přímka]], která jimi prochází.
# ''Úsečka'' je čára, která je vůči bodům na ni ležícím umístěna rovně.
# Konečnou přímou čáru ([[úsečka|úsečku]]) můžeme prodloužit tak, že vznikne opět úsečka.
# ''Plocha'' je to, co má pouze délku a šířku.
# Je možné nakreslit [[kružnice|kružnici]] s libovolným [[střed]]em a [[poloměr]]em.
#Hranice plochy jsou čáry.
# Všechny pravé úhly jsou si [[rovnost (matematika)|rovny]].
#Rovina je plocha, která je vůči úsečkám na ni ležícím umístěna rovně.
# K dané přímce a bodu, který na ní neleží, lze sestrojit právě jednu [[Rovnoběžky|rovnoběžku]], která prochází daným bodem. (tzv. postulát [[rovnoběžnost]]i)
#Úhel je vzájemný sklon dvou čar.
Poslední postulát se dnes formuluje též takto: Jestliže přímka protíná dvě přímky tak, že [[vnitřní úhel|vnitřní úhly]] na téže straně jsou menší než dva pravé úhly, pak se tyto dvě přímky, pokud poběží do [[nekonečno|nekonečna]], protnou na stejné straně, na které jsou úhly menší než dva pravé úhly.
#Když jsou čáry svírající úhel přímé, nazývá se tento úhel přímočarý.
#Když se postaví úsečka na úsečku tak, že vytváří navzájem stejně velké sousední úhly, je každý z těchto stejně velkých úhlů pravý a úsečky jsou k sobě kolmé.
#Tupý úhel je ten, který je větší než pravý.
#Ostrý úhel je ten, který je menší než pravý.
#Mez je to, co je něčeho hranicí.
#Útvar je to, co je ohraničeno nějakou mezí nebo nějakými mezemi.
#Kruh je rovinný útvar ohraničený jednou čarou (nazývanou kružnice), a to tak, že všechny úsečky, které jsou k ní vedeny z jednoho bodu, se navzájem rovnají.
#Uvedený bod se nazývá střed kruhu.
#Průměr kruhu je úsečka vedená středem a končící na obou stranách kružnicí; průměr rovněž dělí kruh napůl.
#Půlkruh je útvar ohraničený průměrem a polovinou kružnice.
#Přímočaré útvary jsou ohraničeny úsečkami; trojúhelník je ohraničen třemi úsečkami, čtyřúhelník čtyřmi a mnohoúhelník více než čtyřmi.
#Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejně dlouhé; rovnoramenný trojúhelník má jen dvě strany stejné, nepravidelný trojúhelník má tři nestejné strany.
#Pravoúhlý trojúhelník má pravý úhel; tupoúhlý trojúhelník má tupý úhel; ostroúhlý trojúhelník má tři ostré úhly.
#Čtverec je čtyřúhelník, který má všechny strany stejně dlouhé a úhly všechny pravé; obdélník je sice pravoúhlý, avšak není rovnostranný; kosočtverec je rovnostranný, ale není pravoúhlý; kosodélník má protější strany i úhly navzájem stejné, není však ani rovnostranný ani pravoúhlý.
#Rovnoběžky jsou takové úsečky, které leží v téže rovině a jejichž jakákoliv prodloužení se neprotínají.
 
 
=== Eukleidovy postuláty ===
 
#
#
#Poslední postulát se dnes formuluje též takto: K dané přímce a bodu, který na ní neleží, lze sestrojit právě jednu [[Rovnoběžky|rovnoběžku]], která prochází daným bodem. (tzv. postulát [[rovnoběžnost]]i)
K pátému postulátu jsou rovněž ekvivalentní:
* Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým.
* Platí Pythagorova věta.
 
=== Eukleidovy axiomy (Obecné zásady)===
Na základě těchto postulátů dokázal Eukleidés věty o [[geometrický útvar|geometrických útvarech]].
 
===Věty ===
Na základě těchto postulátů a axiomů dokázal Eukleidés věty o [[geometrický útvar|geometrických útvarech]].
#Sestrojit [[rovnostranný trojúhelník]].
#Daným bodem sestrojit [[Úsečka|úsečku]] stejné délky, jakou má daná úsečka.
 
# V [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlém trojúhelníku]] se [[obsah]] [[čtverec|čtverce]] proti pravému úhlu rovná součtu obsahů čtverců u pravého úhlu. (při rozebírání této úlohy Eukleidés provádí důkaz [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]])
#Jestliže v trojúhelníku obsah čtverce u jedné ze stran se rovná součet obsahů čtverců u zbývajících dvou stran trojúhelníku, pak úhel mezi těmito zbývajícími dvěma stranami je pravý. (Eukleidés toto tvrzení dokazuje pomocí předchozí věty. Zároveň se zde objevuje formulace, která byla později nazvána [[Eukleidova věta|Eukleidovou větou o výšce]])
 
== OdkazyCitace a reference ==
=== Citace a reference ===
* [http://aleph0.clarku.edu/%7Edjoyce/java/elements/toc.html Anglické zpracování Eukleidových Základů na internetu]
* Casey, John: The Elements of Euclid, 3. vydání, Londýn 1885
 
=== Související články ===
* [[Geometrie]]
* [[Analytická geometrie]]