Eulerova–Lagrangeova rovnice: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
pracuje se |
nepracuje se, lepsi uz to nedokazu |
||
Řádek 1:
'''Euler-Lagrangeova rovnice''' se také často nazývá '''Eulerova rovnice''' nebo '''Lagrangeova rovnice''', protože na této rovnici pracovali [[Leonhard Euler]] a [[Joseph Louis Lagrange]] současně okolo roku [[1755]]. V oboru [[variační počet|variačního počtu]] se jedná o [[diferenciální rovnice|diferneciální rovnici]] umožňující nalezení extrému [[funkcionál]]u a obvykle bývá užívána při [[optimalizace|optimalizaci]] a v [[mechanika|mechanice]] pro odvozování [[pohybová rovnice|pohybových rovnic]] různých objektů.
Řádek 49 ⟶ 48:
:<math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 </math>
Pokud na těleso působí ještě další síly, přidá se na pravou stranu rovnice ještě člen reprezentující [[práce|práci]] těchto sil v daném směru.
=== Příklad: Pohybová rovnice ===▼
:<math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \frac{dW}{dq_i} </math>
▲=== Příklad: Pohybová rovnice oscilátoru ===
[[Image:Pruzina.gif|right]]
Úkolem je sestavit pohybovou rovnici pro [[těleso]] o [[hmotnost]]i ''m'' upevněné na [[pružina|pružině]] s koeficientem tuhosti ''c'', jak je
:<math>F(x) = c \cdot x</math>
[[Kinetická energie]] tělesa ''T'' je známá, [[potenciální energie]] ''V'' v tomto případě představuje práci potřebnou k přesunu tělesa do vzdálenosti ''x'' od klidové polohy (viz [[Potenciální energie pružnosti]]). Ze znalosti energií lze sestavit [[lagrangián]] ''L''.
:<math>T = \frac{1}{2} m \dot x^2</math>
Řádek 66 ⟶ 69:
:<math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 </math>
:<math> \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m \dot x, \,\, \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m \ddot x, \,\, \frac{\partial L}{\partial x} = - c x </math>
:<math> m \ddot x + c x = 0 </math>
=== Příklad: Oscilátor a odpor prostředí ===
Zadání příkladu je téměř stejné, pouze je navíc přídána síla představující [[odpor prostředí]] [[přímá úměrnost|přímo úměrný]] rychlosti tělesa (se součinitelem odporu <math>\alpha</math>) a působící proti rychlosti.
:<math>F = - \alpha \cdot \dot x</math>
Přírustek [[práce]] <math>dW</math> v závislosti na přírustku polohy <math>dx</math> bude zřejmě <math>dW = F dx</math>, takže stačí dosadit do Langrangeovy rovnice a získat hledanou pohybovou rovnici.
:<math>
:<math> m \ddot x + c x = - \alpha \dot x </math>
▲Ke stejné rovnici bysme se samozřejmě také dostali užitím druhého [[Newtonovy pohybové zákony|Newtonova pohybového zákonu]], který říká, že zrychlení tělesa je dáno součtem sil, které na těleso působí. Nicméně pro složitější soustavu těles se ukazuje být vhodnější Lagrangeův postup pomocí energií.
== Podívejte se také na ==
Řádek 85 ⟶ 100:
[[Kategorie:Variační počet]]
[[Kategorie:Mechanika]]
[[Kategorie:Dynamika]]
[[en:Euler-Lagrange equation]]
| |||