Koule: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
zpět průmět (koule nemá obvod) |
Odvození vzorce pro povrch koule |
||
Řádek 15:
* Útvary na kulové ploše je možné popisovat pomocí [[sférická geometrie|sférické geometrie]].
* Koule s různými poloměry a shodnými středy se označují jako soustředné (koncentrické) koule.
== Odvození vzorce pro povrch a objem koule ==
=== Povrch ===
:Nechť je funkce f(x) spojitá a nezáporná na intervalu <a,b> a má zde spojitou derivaci f'(x). Potom pro obsah rotační plochy vzniklé rotací kolem osy x platí:
:<math>S=2\pi \int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx</math>
:Obecná rovnice kružnice se středem v počátku je:
:<math>x^2+y^2=r^2</math> >>> vyjádříme y:
:<math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>
:A dosadíme do vzorce výše - meze od -r po r.
:<math>S=2\pi \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\cdot\sqrt{1+(-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}})^2}dx</math>
:Po úpravách dostáváme:
:<math>S=2\pi \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\cdot\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}dx</math>
:<math>S=2\pi \int_{-r}^{r}rdx</math> - integrujeme:
:<math>S=2\pi [rx]_{-r}^{r}</math> - odečítáme dolní hodnotu od horní:
:<math>S=2\pi r^2-(-2\pi r^2)=4\pi r^2</math>
== Analytické vyjádření ==
| |||