Taylorova řada: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m →Příklady Taylorova rozvoje: přidání sum u arcsin a arccos |
|||
Řádek 9:
== Definice ==
V případě existence všech konečných derivací funkce <math>f</math> v bodě <math>a</math> lze Taylorovu řadu zapsat jako
:<math>f(x) = f(a) + \frac{f^\prime(a)}{1!} (x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x - a)^3 + ... = \sum_{k=0}^{\infin} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^{k}</math>
Má-li funkce <math>f</math> v bodě <math>a</math> konečné derivace až do řádu <math>n</math>, pak Taylorův polynom řádu <math>n</math> funkce <math>f</math> v bodě <math>a</math> je polynom:
:<math>T_n^{f,a}(x) = f(a) + \frac {f^\prime(a)} {1!} (x-a) + \frac {f^{\prime\prime}(a)} {2!} (x-a)^2 + \ldots + \frac {f^{(n)}(a)} {n!} (x-a)^n = \sum_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(a)} {k!} (x - a)^k</math>,
kde nultou derivací je myšlena samotná funkce, tzn. <math>f^{(0)}=f</math>.
Řádek 20:
=== Taylorova věta ===
Rozvoj funkce <math>f(x)</math>, která má v okolí bodu <math>a</math> konečné derivace do <math>(n+1)</math>-tého řádu je obsahem '''Taylorovy věty''', která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu <math>a</math> vyjádřit jako
:<math>f(x) = f(a) + \frac{f^\prime(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}{(x - a)}^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x - a)}^n + R_{n+1}^{f,a}(x)</math>.
Nechť je funkce <math>\varphi</math> spojitá na okolí bodu <math>a</math> a zároveň má na tomto okolí vlastní nenulovou derivaci. Potom existuje <math>c</math> z tohoto okolí tak, že
| |||