Kvazigrupa: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Bez shrnutí editace |
doplnění z en wikipedie |
||
Řádek 4:
== Formální definice ==
'''Kvazigrupa''' (''Q'',*) je taková [[množina]] ''Q'' s [[binární operace|binární operací]] ''*'', že pro každé ''a'' a ''b'' z ''Q'' existují jednoznačně určená ''x'' a ''y'' z ''Q'', že platí:
*''a''*''x'' = ''b'' ;
*''y''*''a'' = ''b'' .
Řádek 10:
Jedinečná řešení těchto dvou rovnic jsou ''x'' = ''a''\''b'' a ''y'' = ''b''/''a''. Operace ''\'' a ''/'' se nazývají pravé a levé dělení.
== Lupa ==
'''Lupa''' je kvazigrupa, která obsahuje neutrální prvek (identitu). Je-li ''n'' neutrálním prvkem kvazigrupy Q, platí:<br />
''x'' * ''n'' = ''x'' = ''n'' * ''x'', pro každé ''x'' z ''Q''.
Z toho plyne, že neutrální prvek ''n'' je pro každý prvek z ''Q'' stejný, a že každý prvek z ''Q'' má jedinečný neutrální inverzní prvek zprava a zleva.
'''Moufangova lupa''' je lupa, která splňuje Moufangovu identitu:
(''x'' * ''y'') * (''z'' * ''x'') = ''x'' * ((''y'' * ''z'') * ''x'').
== Příklady ==
* Každá grupa je lupa, protože platí: ''a'' * ''x''= ''b'', právě a pouze tehdy, když ''a''<sup>−1</sup> * ''b'', a ''y'' * ''a'' = ''b'' právě a pouze tehdy, když ''y'' = ''b'' * ''a''<sup>−1</sup>.
* každá [[grupa]] je zároveň i kvazigrupa (dokonce i [[lupa (matematika)|lupa]])▼
*
* Racionální čísla bez nuly ''Q<sup>x</sup>'' (nebo reálná čísla bez nuly ''R<sup>x</sup>'') s operací dělení (÷) tvoří kvazigrupu.
* Jakýkoli vektorový prostor nad charakteristickým polem různým od čísla 2 tvoří idempotentní komutativní kvazigrupu s operací ''x'' * ''y'' = (''x'' + ''y'') / 2.
* Nenulové [[oktonion]]y spolu s násobením tvoří neasociativní lupu. Oktoniony jsou speciálním případem lupy, které se říká Moufangova lupa.
== Vlastnosti ==
Ve zbytku článku budeme označovat násobení v kvazigrupě jednoduše vedle sebe.
Kvazigrupy mají vlastnost '''krácení''': Jestliže ''ab''=''ac'', pak ''b''=''c''. To vyplývá z jedinečnosti levého dělení ''ab'' nebo ''ac'' prvkem ''a''. Obdobně ''ba''=''ca'', pak ''b''=''c''.
'''Zobrazení násobení'''
Definici kvazigrupy ''Q'' můžeme upravit na zobrazení levého a pravého násobení ''L(x)'', ''R(x)'': ''Q''→''Q'', která jsou definována:
''L(x)y''=''xy'', ''R(x)y''=''yx''
Definice říká, že obě zobrazení jsou bijekcemi množiny ''Q'' do sebesama.
Grupoid ''Q'' je kvazigrupou právě tehdy, když tato všechna zobrazení, pro každé ''x'' ∈ ''Q'', jsou bijektivní.
Inverzní zobrazení pravého a levého dělení jsou potom zapsána:
''L(x)<sup>-1</sup>y''=''x\y'', ''R(x)<sup>-1</sup>y''=''y\x''
V tomto zápisu jsou neutrální prvky mezi operacemi násobení a dělení kvazigrupy, kde ''1'' označuje neutrální prvek zobrazování na ''Q'':
''L(x)L(x)<sup>-1</sup>''=''1''
''L(x)<sup>-1</sup>L(x)''=''1''
''R(x)R(x)<sup>-1</sup>''=''1''
''R(x)<sup>-1</sup>R(x)''=''1''
'''Latinské čtverce'''
Je-li ''Q'' konečná řádu ''n'', potom Caleyho (multiplikativní) tabulka ''Q'' tvoří latinský čtverec ''n''×''n'' tj. čtverec vyplněný čísly z množiny {''1'',…,''n''} tak, že v každém řádku a sloupci se žádné dvě čísla neopakují.
{{překlad|en|Quasigroup|298124236}}
| |||