Lagrangeova věta (teorie grup): Porovnání verzí

 
== Důsledky ==
Řád každého prvku <math> a\in G </math>, neboli nejnižžší číslo ''n'', pro které <math>a^n=e</math>, je dělitelřád řáducyklické ''G'',grupy neboťgenerované prvkem ''a'', generujea [[Cyklickáproto grupa|cyklickou podgrupu]] s týmž řádem. Podlepodle Lagrangeovy věty ''n'' dělí řád grupy ''G''. Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než [[Eulerova věta (teorie čísel)|věta Euler-Fermatova]]. Množina [[Aritmetika modulo n|zbytkových tříd modulo ''n'']] celých čísel nesoudělných s ''n'' tvoří s operací násobení grupu, která má neutrální prvek ''e'' = 1 a řád právě <math>\varphi (n)</math>, což je [[Eulerova funkce]]. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek ''g'' nějaký řád ''k'', který je dělitelem čísla <math>\varphi (n)</math>. Odtud plyne
Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než [[Eulerova věta (teorie čísel)|věta Euler-Fermatova]]. Dá se ukázat, že množina [[Zbytek po dělení|zbytků modulo n]], které jsou s ''n'' nesoudělná, tvoří s operací násobení grupu. Neutrální prvek je ''e'' = 1; existence inverzního prvku je důsledek [[Bézoutova rovnost|Bézoutovy rovnosti]] pro ''gcd(g,n)'' = 1; asociativita vyplývá z vlastností [[Modulární aritmetika|modulární aritmetiky]]; uzavřenost grupy je zřejmá, neboť součin dvou čísel nesoudělných s ''n'' je rovněž nesoudělný, jakož i jeho zbytek po dělení modulo ''n''. Řád takové grupy je právě <math>\varphi (n)</math>, což je [[Eulerova funkce]]. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek ''g'' nějaký řád ''k'', který je dělitelem čísla <math>\varphi (n)</math>. Odtud plyne
 
<math>\varphi (n)=kd</math>, kde <math>d\in\mathbb{Z}</math>
<math>g^{\varphi (n)}=g^{kd}=({g^k})^d=e^d=e</math>
 
což je ekvivalentí zápisu
<math>g^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}</math>
 
<math>g^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}</math>.
 
== Příbuzná tvrzení ==
Anonymní uživatel