Lagrangeova věta (teorie grup): Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Řádek 7:
== Důkaz ==
Nejprve ukážeme, že levé [[Coset|cosety]] <math>gH=\{gh;\;h\in H\}</math> tvoří dohromady pro <math>\forall g \in G</math> [[rozklad množiny]] G. Protože <math>x\cdot e=x\in xH</math>, nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky ''G''. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak <math>xH \cap yH\ne\emptyset</math> pro nějaké <math>x,y\in G</math>. Jinými slovy pro nějaká <math>h_1,h_2\in H</math> musí být <math>x\cdot h_1 = y\cdot h_2</math>. Vynásobením na pravé straně prvkem <math>h_2^{-1}</math> dostaneme
<math>x\cdot h_1\cdot h_2^{-1}=y</math>. Pro jednoduchost provedeme substituci <math>t=h_1\cdot h_2^{-1}</math>. Vzhledem k definici podgrupy <math>t\in H</math>, a proto
| |||