Moivreova věta: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m doplnění překladu a oprava odkazu |
Přidány informace z De Moivrova věta |
||
Řádek 1:
'''Moivreova věta''' říká, že pro libovolné [[reálné číslo]] ''x'' a libovolné [[celé číslo]] ''n'' platí:
:<math>(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).\,</math>
kde ''i'' je [[imaginární jednotka]].
Řádek 19:
Tato věta může být odvozena též z [[Eulerův vzorec|Eulerova vzorce]] ''e''<sup>''ix''</sup> = cos ''x'' + ''i'' sin ''x'' , který je ovšem [[historie|historicky]] mladší.
== Užití věty ==
Větu lze použít k výpočtu n-té [[odmocnina|odmocniny]] z komplexního čísla.
Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru<br />
: <math>z=A(\cos x+i\sin x),\,</math>
pak všech jeho <math> n \,\! </math> odmocnin <math> n \,\! </math>-tého stupně lze zapsat jako
:<math>z^{1/n}=(A(\cos x+i\sin x))^{1/n}= \{ A^{1/n}(\cos \frac{x+2k\pi}{n} + i\sin \frac{x+2k\pi}{n} ) : 0 \leq k \leq n-1 \}</math>
== Důkaz ==
Řádek 46 ⟶ 53:
'''''Poznámka:''' Moivreova věta je ve skutečnosti trošku obecnější, pokud by '''z''' a '''w''' byla [[komplexní číslo|čísla komplexní]], pak '''cos (wz) + i⋅sin (wz)''' je jedním z (více) řešení výrazu '''(cos z + i⋅sin z)<sup>''w''</sup>'''.
== Podívejte se také na ==
{{Portál matematika}}
* [[Komplexní číslo]]
* [[Komplexní rovina]]
* [[Goniometrické funkce]]
* [[Eulerova formule]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Čísla]]
[[Kategorie:Goniometrie]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
| |||