|
V [[matematika|matematice]] značí '''Abelovakomutativní grupa''' (někdy téžnebo '''abelovská grupa''' či(někdy též '''komutativníAbelova grupa''') [[grupa|grupu]] (''G'', ∗), ve které platí pro grupovou operaci [[komutativní zákon]]: ''a'' ∗ ''b'' = ''b'' ∗ ''a'' pro všechna ''a'' a ''b'' z ''G''. Abelovy
Abelovské grupy jsou pojmenovány po norském matematikovi [[Niels Henrik Abel|Nielsi Henriku Abelovi]].
== Značení ==
Existují dvě hlavní konvence pro zápis abelovýchabelovských grup – ''aditivní'' a ''multiplikativní''
{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0"
|-
Je zvykem, ačkoliv ne pevným pravidlem, zapisovat Abelovyabelovské grupy v aditivní notaci. Naopak, pokud nějaká grupa není Abelovaabelovská, téměř nikdy se její grupová operace nezapisuje v aditivní notaci.
== Příklady ==
Každá [[cyklická grupa]] ''G'' je abelovaabelovská, protože pokud ''x'', ''y'' jsou z ''G'', pak ''xy'' = ''a''<sup>''m''</sup>''a''<sup>''n''</sup> = ''a''<sup>''m'' + ''n''</sup> = ''a''<sup>''n'' + ''m''</sup> = ''a''<sup>''n''</sup>''a''<sup>''m''</sup> = ''yx''.
[[Reálné číslo|Reálná čísla]] spolu se sčítáním jsou též abelovská grupa, stejně tak jako nenulová reálná čísla s násobením.
Každá konečná grupa prvočíselného řádu je Abelovaabelovská, neboť je automaticky [[cyklická grupa|cyklická]]. Existuje i těžší tvrzení, podle nějž každá konečná grupa, jejíž řád je roven druhé mocnině prvočísla, je Abelovaabelovská. Proto nejjednodušší příklad grupy, která není Abelova, musí mít minimálně 6 prvků. Takový jednoduchý příklad skutečně existuje, je jím [[symetrická grupa|grupa permutací]] <math>S_3</math> tříprvkové množiny s operací skládání [[permutace|permutací]], což je [[grupa symetrie]] rovnostranného trojúhelníka.
== Vlastnosti Abelovýchabelovských grup ==
Každá konečná Abelovaabelovská grupa je direktním součtem cyklických grup o řádech rovných mocninám prvočísel. To je speciální případ obecnějšího tvrzení, podle nějž každá konečně generovaná Abelovaabelovská grupa je direktním součtem konečných cyklických grup o řádech rovných mocninám prvočísel, a nekonečných cyklických grup.
Součinu konečných grup z výše zmíněné věty se rovněž říká ''torzní část'' Abelovyabelovské grupy, součinu nekonečných cyklických grup z výše zmíněné věty se říká ''beztorzní část'' Abelovyabelovské grupy. Je zřejmé, že beztorzní část konečné Abelovyabelovské grupy je triviální.
Každá [[podgrupa]] každé Abelovyabelovské grupy je Abelovaabelovská a normální. Každá [[faktorgrupa]] každé Abelovyabelovské grupy je Abelovaabelovská.
Každá Abelovaabelovská grupa nese strukturu [[modul (matematika)|modulu]] nad oborem [[celé číslo|celých čísel]] a naopak, každý modul nad celými čísly je Abelovouabelovskou grupou vůči své operaci sčítání (z definice). Pojmy ''Abelovaabelovská grupa'' a ''modul nad celými čísly'' jsou ekvivalentní.
[[Kategorie:Teorie grup]]
| 