Univerzální množina

Univerzální množina (též univerzum) je množina všech prvků, které jsou relevantní v rámci daného kontextu (domény, problému).

Univerzální množina bývá označována jako $U$.

Vlastnosti

Univerzální množina je tedy nadmnožinou všech množin, které v rámci daného problému uvažujeme.

Velikost univerzální množiny je závislá na daném kontextu (problému).

Příklady

Peanova aritmetika přirozených čísel používá jako své univerzum množinu přirozených čísel.

Klasická analytická geometrie pracuje obvykle na množině všech podmnožin kartézské mocniny množiny reálných čísel - například pro rovinnou analytickou geometrii je univerzální množinou $\mathbb {P} (\mathbb {R} ^{2})\,\!$, tj. množina všech podmnožin množiny všech uspořádaných dvojic reálných čísel.

Zajímavější je situace v případě klasické teorie množin - pokud budeme uvažovat o jejím univerzu (množině všech množin, často označované jako $\mathbb {V} \,\!$), dostaneme se poměrně záhy k paradoxům typu Cantorova paradoxu. V moderní teorii množin je tento problém řešen tak, že nic takového, jako množina všech množin neexistuje - univerzem teorie množin je třída všech množin (nazývaná univerzální třída), která je (právě díky uvedenému paradoxu) nikoliv množinou, ale vlastní třídou.

Související články

• Prázdná množina
• Teorie množin
• Russellova antinomie
• Vlastní třída
• Univerzální třída

Portály: Matematika