Unitární operátor

Unitární operátor je v matematice označení pro omezený lineární operátor $U:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}$ splňující vztah: $U^{*}=U^{-1}$, tzn. adjungovaný operátor odpovídá inverznímu zobrazení. (Kde ${\mathcal {H}}$ a ${\mathcal {K}}$ jsou Hilbertovy prostory.)

Vlastnosti

Alternativní definice

Následující tvrzení jsou ekvivalentní. Vlastnosti 2. a 3. se někdy používají jako alternativní definice.

1. $U$ je unitární, ve smyslu definovaném výše, tedy $U^{*}=U^{-1}$
2. $U$ je surjektivní a je izometrií, tzn.: $\|Ux\|=\|x\|\ \forall x\in {\mathcal {H}}$
3. $U$ je surjektivní a zachovává skalární součin, tzn.: $\langle x,y\rangle =\langle Ux,Uy\rangle \ \forall x,y\in {\mathcal {H}}$

Důkaz:

$(1.)\Rightarrow (3.)\Rightarrow (2.)$

$U^{*}=U^{-1}\Rightarrow \langle x,x\rangle =\langle U^{-1}Ux,x\rangle =\langle U^{*}Ux,x\rangle =\langle Ux,Ux\rangle \Rightarrow \|x\|=\|Ux\|$

Protože platí $U^{**}=(U^{-1})^{*}=(U^{*})^{-1}$, je $U^{*}$ též unitární. Proto je unitární zobrazení vždy bijektivní a tedy i surjektivní.

$(2.)\Rightarrow (1.)$

Označme $I$ identické zobrazení a připomeňme, že: $\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle$.

$\langle Ix,x\rangle =\langle x,x\rangle =\langle Tx,Tx\rangle =\langle T^{*}Tx,x\rangle \ \forall x\in {\mathcal {H}}\Rightarrow I=T^{*}T$

Z čehož máme: $TT^{*}=TT^{*}TT^{-1}=TIT^{-1}=TT^{-1}=I\Rightarrow T^{*}=T^{-1}$. ∎

Další vlastnosti

Unitární zobrazování je někdy považováno za zobecnění komplexní jednotky pro Hilbertovy prostory, mimo výše uvedené izometrie má je ještě tyto podobné vlastnosti:

• Složené zobrazení dvou unitárních zobrazení je unitární zobrazení.
• Vlastní čísla unitárního operátoru jsou komplexní jednotky.
• Unitární operátor komutuje se svým sdruženým operátorem, je takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální. Lze z nich tedy sestrojit ortonormální bázi ${\mathcal {K}}$.
• Pro Hilbertovy prostory konečné dimenze lze unitární zobrazení reprezentovat maticí $n\times n$, jejíž sloupcové vektory tvoří ortonormální bázi $\mathbb {C} ^{n}$. Platí i opačná implikace: Matice s touto vlastností reprezentuje unitární zobrazení. Stejná vlastnost platí i pro řádkové vektory.

Příklady

• Identické zobrazení je triviální případ unitárního operátoru.
• Rotace v $\mathbb {R} ^{n}$.
• V množině komplexních čísel násobení komplexní jednotkou.
• Fourierova transformace v prostoru L²(ℝ).
• $\exp {(iH)}$, kde $H$ je hermitovský operátor a $\exp {}$ značí exponenciálu operátoru.

Související články

• Antiunitární operátor
• Wignerova věta

Portály: Matematika