Sigma okruh

$\sigma$-okruh (sigma-okruh) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků. Prefix $\sigma$ v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Definice

Systém množin ${\mathcal {R}}$ je $\sigma$-okruh, pokud splňuje následující vlastnosti:

1. ${\mathcal {R}}\neq \emptyset$
2. jestliže $(\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {R}})$, pak $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}$
3. jestliže $A,B\in {\mathcal {R}}$, pak $A\setminus B\in {\mathcal {R}}$

Někdy se jako $\sigma$-okruh označuje uspořádaná dvojice $(X,{\mathcal {R}})$, kde $X$ je libovolná množina a ${\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ je nějaký systém jejích podmnožin, který splňuje výše uvedené vlastnosti.

Vlastnosti

• každý $\sigma$-okruh obsahuje prázdnou množinu
• $\sigma$-okruh je uzavřený na spočetný průnik svých prvků, tj. pro $(\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {R}})$ platí $\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}$

Použití

Koncept $\sigma$-okruhu je důležitý především v teorii míry, kde se používá místo $\sigma$-algebry, pokud není potřeba, aby univerzální množina byla měřitelná.

Související články

• $\sigma$-algebra

Portály: Matematika