Rozšířená reálná čísla

Rozšířená reálná čísla (značení $\mathbb {R} ^{*}\,\!$) je název používaný v matematické analýze pro množinu $\mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}\,\!$, tedy pro reálná čísla rozšířené o dva symboly pro kladné a záporné nekonečno.

Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro limitu funkce $y=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\,\!$ je potřeba ošetřit celkem devět možností: $x_{0}\,\!$ i $y\,\!$ může být reálné číslo, $-\infty \,\!$ nebo $+\infty \,\!$; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí.

Aritmetické operace a uspořádání

Aritmetické operace

Sčítání a odčítání

Definovat zde budeme pouze sčítání. Všimneme si, že odčítání je v něm již zahrnuto, např. $\infty +(-4)=\infty -4$ .

• $\forall x\in \mathbb {R} ^{*}\setminus \{-\infty \}:(\infty +x)=(x+\infty )=\infty$

• $\forall x\in \mathbb {R} ^{*}\setminus \{\infty \}:(-\infty +x)=(x+(-\infty ))=-\infty$

• $-(\infty )=-\infty$
• $-(-\infty )=\infty$

Definice je poměrně přirozená, jelikož zachovává zvyklosti z reálných čísel a „s nekonečnem operuje nekonečně“. První dva body říkají, že když k nekonečnu cokoli přičteme, dostaneme opět nekonečno (vyjma nekonečna s opačným znaménkem). To dává smysl i nematematicky: když přidáme nebo ubereme z něčeho nekonečného, pořád toho bude nekonečně. Druhé dva body přesně kopírují chování reálných čísel, např. $-(4)=-4$ a také $-(-\pi )=\pi$.

Násobení a dělení

• $\forall x\in \mathbb {R} ^{*},x>0:(\pm \infty )*x=x*(\pm \infty )=\pm \infty$
• $\forall x\in \mathbb {R} ^{*},x<0:(\pm \infty )*x=x*(\pm \infty )=\mp \infty$
• $\forall x\in \mathbb {R} :\left({\frac {x}{\pm \infty }}\right)=0$

I v tomto případě dává definice dobrý smysl. První dva body opět kopírují vlastnosti násobení reálných čísel, např. $4*(-8)=-32$ nebo $(-7)*(-2)=14$ , neboli násobení s nekonečnem nakládá stejně, jako by to bylo obyčejné reálné číslo. Poslední bod si můžeme představit následovně. Zvolme si x = 1 (pro jednoduchost). Místo nekonečna si postupně dosazujme větší a větší čísla 10, 100, -1000, $10^{10}$ , $-10^{1000}$ atd. Zlomek se tím více přibližuje nule, čím větší číslo do jmenovatele dosadíme (čím větší číslo v absolutní hodnotě). Proto když do jmenovatele dosadíme nekonečně velké číslo, celý zlomek bude roven nule.

Absolutní hodnota

• $|\pm \infty |=\infty$

Stejně tak absolutní hodnota se k nekonečnu chová jako k reálnému číslu.

Nedefinované aritmetické operace

Výše nebyly definovány některé operace, jelikož neumíme říci, čemu by se měly rovnat, např.

• $\infty +(-\infty )$
• $(-\infty )+\infty$
• $\pm \infty *0$
• $0*\pm \infty$
• $\left({\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\right)$
• $\left({\frac {x}{0}}\right),\forall x\in \mathbb {R} ^{*}$

Zvažme například, proč si neumíme poradit s posledním bodem. Pokusme se definovat $\left({\frac {x}{0}}\right)$ obdobně, jak jsme definovali, že $\forall x\in \mathbb {R} :\left({\frac {x}{\pm \infty }}\right)=0$. Dosadíme x = 1 (pro jednoduchost) a místo nuly uvažujme malá čísla – 0,1 ; 0,0001; – 0,00000001; 0,0000000000001. Narážíme zde na problém – zlomek se sice neustále zvětšuje, ale když dosazujeme kladná a záporná čísla, zvětšuje se "jinam", totiž směrem k $\infty$ a $-\infty$. A bohužel nelze říci, zdali by výsledek $\left({\frac {x}{0}}\right)$ měl být spíše jedno, či druhé.

Uspořádání

Množina reálných čísel je uspořádaná, tj. pro každá dvě čísla umíme říct, které z nich je větší, nebo že se rovnají, např. $4>3$ ; $e<\pi$ ; $\left({\frac {3125}{625}}\right)=\left({\frac {65}{13}}\right)$ . Nyní chceme definovat, jak jsou vůči těmto prvkům uspořádané nové dva prvky $+\infty ,-\infty$

• $\forall x\in \mathbb {R} :-\infty <x$
• $\forall x\in \mathbb {R} :\infty >x$
• $-\infty <\infty$

$\varepsilon$-okolí

Pojem „$\varepsilon -\,\!$ okolí bodu $x\,\!$“ je označován $U_{\varepsilon }(x)\,\!$ a má tuto definici:

Pro každé $x\in \mathbb {R} ^{*}\,\!$ a $\varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}\,\!$ je

• $U_{\varepsilon }(x)=(x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\,\!$ pokud $x\in R\,\!$
• $U_{\varepsilon }(x)=\left\langle -\infty ,-{1 \over \varepsilon }\right)\,\!$ pokud $x=-\infty \,\!$
• $U_{\varepsilon }(x)=\left({1 \over \varepsilon },+\infty \right\rangle \,\!$ pokud $x=+\infty \,\!$

Prstencové okolí je pak ve všech případech definováno jako $P_{\varepsilon }(x)=U_{\varepsilon }(x)-\{x\}\,\!$.

Okolí vs. $\varepsilon$-okolí

Množina $A\subseteq \mathbb {R} ^{*}\,\!$ se nazývá okolím bodu $x\in \mathbb {R} ^{*}\,\!$, pokud obsahuje $\varepsilon$-okolí bodu x pro nějaké ε>0. A se nazývá prstencovým okolím x, pokud neobsahuje x, ale pro nějaké ε>0 obsahuje jako podmnožinu nějaké prstencové ε-okolí bodu x.

Tyto definice jsou ekvivalentní s topologickými definicemi pojmu okolí a ε-okolí při níže uvedené topologii.

Topologie

Na $\mathbb {R} ^{*}\,\!$ lze zavést strukturu topologického prostoru tak, že množina je otevřená, právě když s každým svým prvkem obsahuje nějaké jeho okolí.

Tato topologie je sice metrizovatelná, ale žádná z metrik, která ji indukuje, není na reálných číslech (tj. na $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ^{*}\,\!$) totožná s obvyklou metrikou. Příkladem metriky, která tuto topologii indukuje, je zobrazení $d(x,y)=|\operatorname {arctan} (x)-\operatorname {arctan} (y)|\,\!$, pokud funkci arctan dodefinujeme (pouze pro účely této definice) tak, že $\operatorname {arctan} (+\infty )={\pi \over 2}\,,\operatorname {arctan} (-\infty )=-{\pi \over 2}\,\!$.

Limita posloupnosti

Rozšířená reálná čísla umožňují jedním vzorcem definovat limitu posloupnosti $a=\lim _{n\to +\infty }a_{n}\,\!$ pro konečné i nekonečné $a$ .

Budiž $a_{n}\,\!$ posloupnost reálných čísel a $a\in \mathbb {R} ^{*}\,\!$. Řekneme, že $a=\lim _{n\to +\infty }a_{n}\,\!$, pokud

$(\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{*})(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n>n_{0})a_{n}\in U_{\epsilon }(a)\,\!$

Tato definice konvergence posloupnosti je ekvivalentní s konvergencí v topologickém prostoru při výše uvedené topologii.

Limita funkce

Rozšířená reálná čísla umožňují definovat limitu funkce jedním vzorcem pro konečné i nekonečné $x_{0}$ a $y$:

Je-li $f:D_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} \,\!$ funkce, $y\in R^{*}$ a $x_{0}\in R^{*}$ takové, že $x_{0}$ leží v uzávěru $D_{f}\,\!$ ( definiční obor $D_{f}\,\!$ sice obsahuje jen konečná čísla, ale v jeho uzávěru – viz topologie na $R^{*}$ – může ležet i nekonečno), pak říkáme, že

$y=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\iff \forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\exists \delta \in \mathbb {R} ^{+}:f[P_{\delta }(x_{0})]\subseteq P_{\epsilon }(f(x_{0}))\,\!$

Tato podmínka je ekvivalentní s tvrzením, že pro každé okolí $U_{1}$ bodu $y$ existuje prstencové okolí $P_{2}$ bodu $x_{0}$ takové, že obraz $P_{2}$ leží v $U_{1}$ (tj. $f[P_{2}]\subseteq U_{1}\,\!$).

_{Důkaz ekvivalence: Pokud je y je limitou v prvním smyslu a chceme ověřit druhou formulaci, pak ε zvolíme tak, aby $U_{\epsilon }(x)\subseteq U_{1}\,\!$. Definice v prvním smyslu nám zaručuje existenci $\delta$ s příslušnou vlastností; poté $P_{2}$ zvolme jako $P_{\delta }(x)$. Naopak pokud y je limitou v druhém smyslu a máme dokázat spojitost pro nějaké ε>0, pak zvolíme $U_{1}=U_{\epsilon }(x)$ a $\delta$ zvolíme tak, aby $P_{\delta }(x)\subseteq P_{2}$.}