Riemannova věta

Je-li reálná řada $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ neabsolutně konvergentní, pak ke každému $S\in \mathbb {R}$ existuje přerovnání $\phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ takové, že $\sum _{n=1}^{\infty }a_{\phi (n)}=S$. Rovněž existuje oscilující přerovnání $\phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ této řady.

Důkaz

• Nejprve si uvědomme, že platí $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{+}=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{-}=\infty$, kde $a_{i}^{+}$ značí kladnou část čísla $a_{i}$, tedy $a_{i}^{+}=\max(a_{i},0)$, $a_{i}^{-}$ značí zápornou část tohoto čísla: $a_{i}^{-}=\max(-a_{i},0)$. Je tedy $a_{i}=a_{i}^{+}-a_{i}^{-}$ a $|a_{i}|=a_{i}^{+}+a_{i}^{-}$. To znamená, že původní řada musí obsahovat nekonečně mnoho kladných a nekonečně mnoho záporných členů, tedy je mohu stále vybírat a nikdy nedojdou.
• Je-li $S<0$, pak přeskočím následující krok.
• Najdu takové přirozené číslo $n$, pro které platí $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{+}>S$. Tento součet označím $T_{1}$. Všimnu si, že jsem vlastně pouze sečetl všechny kladné členy této řady až do indexu $n$.
• Nyní najdu další přirozené číslo $m$ takové, aby $\sum _{i=1}^{m}a_{i}^{-}+T_{1}<S$. Tento součet označím $T_{2}$ a pokračuji předchozím krokem. Protože je původní řada konvergentní, budou se součty $T_{1}$ a $T_{2}$ postupně blížit k požadovanému $S$.

Související články

• Řada

Literatura

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
• Derbyshire John : Posedlost prvočísly. Galileo, Praha, 2007, 1. vydání. ISBN 978-80-200-1479-5
• Křížek Michal, Sommer Lawrence, Šolcová Alena : Kouzlo čísel. Galileo, Praha, 2011, 2. vydání. ISBN 978-80-200-1996-7

Portály: Matematika