Pythagorova věta o energii

Ve fyzice je Pythagorova věta o energii vztah mezi energií a hybností částice, který vyplývá ze speciální teorie relativity:

Vztah si lze snadno zapamatovat jako Pythagorovu větu pro trojúhelník o stranách $E$,$E_{0}$ a $pc$.

$E^{2}=E_{0}^{2}+\left(pc\right)^{2}\,.$

$E$ značí celkovou energii částice, $E_{0}$ je její klidová energie, $p$ je velikost hybnosti a $c$ je rychlost světla ve vakuu. Klidová energie je přímo úměrná hmotnosti částice $m$ podle vztahu $E_{0}=mc^{2}$.

Částice s nulovou hmotností

Foton a některé další částice mají nulovou klidovou hmotnost. Dosadíme-li $m=0$ do Pythagorovy věty o energii, vztah se výrazně zjednoduší:

$E=pc\,.$

Částice tedy nese hybnost, která je přímo úměrná její energii. Další významný důsledek lze nahlédnout, uvážíme-li relativistickou definici hybnosti:

$\mathbf {p} ={E \over c^{2}}\mathbf {v} \,,$

kde $\mathbf {p}$ a $\mathbf {v}$ jsou vektory hybnosti, resp. rychlosti částice. Dosadíme-li do této rovnice energii $E=pc$, zjistíme, že je splněna pouze tehdy, je-li velikost rychlosti rovna $c$. Jinými slovy částice s nulovou klidovou hmotností se musí vždy vůči libovolnému pozorovateli pohybovat rychlostí $c$.

Částice s nenulovou hmotností

Stejně jako v předchozí sekci dosadíme Pythagorovu větu o energii do vztahu pro velikost hybnosti:

$p=v{E \over c^{2}}={v \over c^{2}}{\sqrt {m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}\,.$

Je-li rychlost $v$ menší než $c$, můžeme z tohoto vztahu vyjádřit hybnost:

$p=\gamma mv\,,$

kde $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ je Lorentzův faktor. Hmotná částice se tedy bude pohybovat vždy rychlostí menší než $c$, i když jí dodáme libovolně velkou hybnost.

Na druhou stranu vezmeme-li definici hybnosti a dosadíme do Pythagorovy věty o energii:

$E^{2}=m^{2}c^{4}+\left(v{E \over c^{2}}\right)^{2}c^{2}\,,$

můžeme z této rovnice vyjádřit celkovou energii částice:

$E=\gamma mc^{2}\,.$

Opět je vidět, že částice s nenulovou hmotností se bude pohybovat vždy pomaleji než $c$, i když jí dodáme libovolnou energii.
Pokud by se částice nepohybovala, můžeme za hybnost dosadit nulu a vychází nám $E=mc^{2}$.

Kinetická energie

Kinetická energie je rozdíl mezi energií částice v pohybu a v klidu:

$E_{k}=E-E_{0}={\sqrt {E_{0}^{2}+\left(pc\right)^{2}}}-E_{0}\,.$

Nemá-li částice klidovou hmotnost ($E_{0}=0$), je $E_{k}=E$. V tomto smyslu je energie částice s nulovou klidovou hmotností „čistě“ kinetická.

Pro částice s $E_{0}\not =0$ je kinetická energie v souladu s předchozími vztahy rovna:

$E_{k}=E-E_{0}=\gamma mc^{2}-mc^{2}=mc^{2}\left(\gamma -1\right)\,.$

Taylorovým rozvojem tohoto výrazu lze ukázat, že při malých rychlostech dostatečně přesně platí vztah $E_{k}={1 \over 2}mv^{2}$, což souhlasí s klasickou dynamikou popsanou Newtonovými zákony pohybu. Při velkých kinetických energiích se však rychlost pouze blíží $c$ a nikdy tuto hranici nepřekročí.

Čtyřhybnost

Všechny vztahy ve speciální teorii relativity lze přirozeně zapisovat pomocí čtyřvektorů. Jedním z nejdůležitějších je čtyřhybnost, která spojuje energii a hybnost částice. Vypočteme-li skalární součin tohoto 4-vektoru se sebou samým, obdržíme právě Pythagorovu větu o energii.

Odkazy

Související články

• Hybnost
• Čtyřhybnost
• Čtyřvektor
• Relativistická hmotnost

Externí odkazy

• Speciální teorie relativity – přehled základních vztahů na Aldebaran.cz