Přesněji polospojitost shora a polospojitost zdola jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Zhruba řečeno reálná funkce f je shora polospojitá v bodě x, pokud pro body y blízké bodu x není f(y) o moc větší než f(x). Funkce f je zdola polospojitá, když v předchozím místo větší řekneme menší.

Přesná definice editovat

 
Shora polospojitá funkce.

Polospojitost shora editovat

  • Funkce f z topologického prostoru X do reálných čísel je shora polospojitá v bodě x z X, pokud pro každé ε>0 existuje okolí U bodu x, že   kdykoliv  .
Ekvivalentně můžeme říci, že f je shora polospojitá v x, pokud  .
  • Funkce f je shora polospojitá v X , jestliže je shora polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru   (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.

Polospojitost zdola editovat

 
Zdola polospojitá funkce.
  • Funkce f z topologického prostoru X do reálných čísel je zdola polospojitá v bodě x z X, pokud pro každé ε>0 existuje okolí U bodu x, že   kdykoliv  .
Ekvivalentně můžeme říci, že f je zdola polospojitá v x, pokud  .
  • Funkce f je zdola polospojitá v X , jestliže je zdola polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru   (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.


Vlastnosti editovat

  •   ukazuje, že pokud je f v x polospojitá shora i zdola, je již v x spojitá a (samozřejmě) i obráceně.
  • součet
  • Protože  , je supremum libovolného systému zdola polospojitých funkcí   opět zdola polospojité. Totéž platí, zaměníme-li slůvko zdola za shora a supremum za infimum.
  • Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad  .

Mnemotechnika editovat

Je zajímavé, že naprosté většině lidí činí problémy zapamatovat si, která polospojitost je která.

Příklady editovat

Související články editovat

Externí odkazy editovat