Monoid

V algebře je monoid algebraická struktura s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem. Je to tedy grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.

	Asociativita	Neutrální prvek	Inverzní prvek	Komutativita
Abelova grupa	Ano	Ano	Ano	Ano
Grupa	Ano	Ano	Ano	Ne
Monoid	Ano	Ano	Ne	Ne
Pologrupa	Ano	Ne	Ne	Ne
Lupa	Ne	Ano	Ano	Ne
Kvazigrupa	Ne	Ne	Ano	Ne
Grupoid	Ne	Ne	Ne	Ne

Struktury s jednou binární operací

Schéma vztahů mezi algebraickými strukturami. Výchozí je grupoid (anglicky magma) s jednou uzavřenou operací. Přidáváním dalších podmínek vznikají např. pologrupa (semigroup) a kvazigrupa (quasigroup).

Definice

Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací „·“ : M × M → M, a těmito axiomy:

• Asociativita: ∀ x, y, z ∈ M (x·y)·z = x·(y·z)
• Neutrální prvek: (∃e∈ M) (∀x∈ M) x·e = e·x = x.

Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace.

• ∀ (x, y ∈ M) x·y ∈ M

Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.

Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.

Monoid, jehož operace je také komutativní se nazývá komutativní monoid, nebo Abelovský monoid.

Příklady

• Přirozená čísla tvoří komutativní monoid k operaci násobení.
• Množina všech matic n×n tvoří monoid vůči sčítání i násobení

Homomorfismus monoidů

O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že:

• ∀x,y∈M f(x·y)=f(x)∗f(y).
• f(e)=e ', kde e je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a e ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).

Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.

Teorie kategorií

V teorii kategorií je monoid objekt v monoidální kategorii se dvěma morfismy (v kategorii funktorů přirozenými transformacemi) $(M,\mu ,\eta )$ splňující $\mu \circ (\eta \otimes 1)=\lambda$, $\mu \circ (1\otimes \eta )=\rho$ a $\mu \circ (\mu \otimes 1)=\mu \circ (1\otimes \mu )\circ \alpha$. Morfismus $f:M\rightarrow M'$ je morfismem mezi monoidy, pokud $\eta '=f\circ \eta$ a $f\circ \mu =\mu '\circ (f\otimes f)$. Monoidy v kategorii Set známé z algebry jsou příkladem kategorických monoidů, neboť Set s operací $\times$ a terminálním prvkem tvoří monoidální kategorii.

Odkazy

Související články

• Grupoid
• Pologrupa
• Grupa - monoid rozšířený o inverzní operaci
• Volný monoid

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu monoid na Wikimedia Commons