Jarníkův algoritmus

Jarníkův algoritmus (v zahraničí známý jako Primův algoritmus) je v teorii grafů algoritmus hledající minimální kostru ohodnoceného grafu. Najde tedy takovou podmnožinu hran grafu, která tvoří strom obsahující všechny vrcholy původního grafu a součet ohodnocení hran z této množiny je minimální. Poprvé algoritmus popsal Vojtěch Jarník roku 1930, později byl znovuobjeven roku 1957 Robertem Primem a poté ještě jednou roku 1959 Edsgerem Dijkstrou. V zahraničí se téměř výlučně používá označení Primův algoritmus, vzácně pak Jarníkův algoritmus nebo DJP algoritmus.

Popis

Algoritmus začíná s jedním vrcholem a postupně přidává další a tím zvětšuje velikost stromu do té doby, než obsahuje všechny vrcholy.

• Vstup: souvislý ohodnocený graf $G(V,E)$
• Inicializace: $V'=\{x\}$, kde $x$ je libovolný vrchol z $V$, $E'=\{\}$
• Opakuj dokud není $V'=V$:
  • Vyber hranu $(u,v)$ z $E$ s minimální cenou tak, že $u$ je ve $V'$ a $v$ není ve $V'$
  • Přidej $v$ do $V'$, přidej $(u,v)$ do $E'$
• Výstup: $G(V',E')$ je minimální kostra grafu

Časová složitost

Datová struktura s ohodnocením hran	Celková časová složitost
matice sousednosti	V2
binární halda (v pseudokódu níže) a seznam sousedů	O((V + E) log(V)) = E log(V)
Fibonacciho halda a seznam sousedů	E + V log(V)

Jednoduchá implementace s použitím reprezentace grafu pomocí matice sousednosti a prohledáváním pole cen má časovou složitost O(V²). S použitím binární haldy a seznamu sousedů dosáhneme složitosti O(E log V), kde E je počet hran a V je počet vrcholů. S použitím sofistikované Fibonacciho haldy složitost snížíme až na O(E + V log V), což je obzvláště rychlé u grafů, kde E je $\Omega (VlogV)$.

Příklad

Obrázek	Popis	Dosud neviděn	Sousedé	Dosavadní řešení
	Toto je náš původní ohodnocený graf. Není to strom, protože definice stromu požaduje, aby v grafu nebyly žádné kružnice a tento graf kružnice obsahuje. Čísla poblíž hran označují jejich cenu. Žádná hrana zatím není označena a vrchol D byl vybrán náhodně jako startovní vrchol.	C, G	A, B, E, F	D
	Druhý vybraný vrchol je nejbližší k vrcholu D: cena hrany do A je 5, do B je 9, do E je 15 a F je 6. Cena hrany do bodu A (5) je nejnižší, použijeme tedy (a v našem diagramu vyznačíme) tuto hranu.	C, G	B, E, F	A, D
	Dalším vybraným vrcholem je nejbližší vrchol buď k D nebo k A. Cena hrany z D do B je 9 a z A do B je 7, do E je 15 a do F je 6. Cena poslední jmenované hrany je nejnižší, zvolíme tedy hranu z D do F.	C	B, E, G	A, D, F
	V tomto případě je nejkratší hrana z A do B.	žádný	C, E, G	A, D, F, B
	V tomto případě je nejkratší hrana z B do E. Další dvě hrany obarvujeme na červeno, protože je už nebudeme moci použít. Nechceme, aby vznikla kružnice.	žádný	C, G	A, D, F, B, E
	Jediné zbývající vrcholy jsou C a G. Hrana z E do C váží 5 a hrana z E do G váží 9. Vybíráme tedy hranu do C. Hranu z B do C obarvujeme na červeno.	žádný	G	A, D, F, B, E, C
	Zbývá nám už jenom vrchol G. Hrana do F váží 11 a do E 9. Vybíráme tedy hranu do E. Všechny vrcholy jsou už součástí stromu, získali jsme tedy minimální kostru grafu (na diagramu je obarvená zelenou). Celková váha kostry je 39.	žádný	žádný	A, D, F, B, E, C, G

Implementace v pseudokódu

S použitím haldy

Inicializace

vstupy: Graf, funkce vracející ohodnocení hran a startovní vrchol

na začátku jsou všechny vrcholy nastaveny na status dosud neviděn, startovní vrchol je umístěn do grafu a všechny hrany do haldy tak, aby vracela hranu s nejnižší vahou.

Pro každý vrchol v grafu
   nastav min_vzdálenost vrcholu na ∞
   nastav otec vrcholu na null
   nastav min_seznam_sousedů vrcholu na prázdný_seznam
   nastav je_v_Q vrcholu na true
nastav vzdálenost startovního vrcholu na nula
přidej do haldy Q všechny vrcholy v grafu.

Algoritmus

V popisu algoritmu výše,

nejbližší vrchol je Q[0]

okraj je v v Q, kde vzdálenost v < ∞ poté, co je nejbližší vrchol vyjmut z haldy

dosud neviděn je v v Q, kde vzdálenost v = ∞, co je nejbližší vrchol vyjmut z haldy

Cyklus selže pokud halda vrátí nulu. Seznam sousedů je vytvořen tak, aby mohl vrátit orientovaný graf.

časová složitost: V na cyklus, log(V) na vyjmutí hrany z haldy

Dokud poslední_přidaný = vrať minimum v Q
    nastav je_v_Q čeho poslední přidaný na false
    přidej poslední_přidaný na (min_seznam_sousedu čeho (otec čeho poslední_přidaný))
    přidej (otec čeho poslední_přidaný) do (min_seznam_sousedů čeho poslední_přidaný)

časová složitost: E/V, průměrný počet vrcholů

    pro každý soused čeho poslední_přidaný
    Jestliže (je_v_Q čeho soused) a zároveň (váha(poslední_přidaný, soused) < min_vzdálenost čeho soused)
        nastav otec čeho soused na poslední_přidaný
        nastav min_vzdálenost čeho soused na váha(poslední_přidaný, soused)

časová složitost: log(V), výška haldy

        uprav soused v Q, podle min_vzdálenost

Důkaz správnosti

Nechť $P$ je souvislý, ohodnocený graf. S každou iterací Jarníkova algoritmu je přidána hrana, která spojuje vrchol v podgrafu s vrcholem mimo podgraf. Jelikož je $P$ souvislý, musí existovat cesta mezi všemi dvojicemi vrcholů. Nechť výstup Jarníkova algoritmu je $Y$ a $Y_{1}$ je minimální kostra grafu $P$. Jestliže $Y_{1}=Y$, pak $Y$ je minimální kostra grafu. V opačném případě, nechť $e$ je první hrana přidaná během konstrukce $Y$, která není v $Y_{1}$ a $V$ je množina vrcholů spojených hranami přidanými před $e$. Pak jeden konec hrany $e$ je v $V$ a druhý není. Jelikož $Y_{1}$ je kostra grafu $P$, pak musí existovat cesta v $Y_{1}$ spojující oba konce hrany. Někde v této cestě se musí objevit hrana $f$ spojující vrchol ve $V$ s vrcholem, který není ve $V$. Ve chvíli, kdy je $e$ přidána k $Y$ by mohla být místo ní přidána také $f$, pokud by ovšem vážila méně. Jelikož ale byla přidána $e$, můžeme soudit, že

$w(f)\geq w(e)$

Nechť $Y_{2}$ je graf získaný odstraněním $f$ a přidáním $e$ z $Y_{1}$. Je snadné ukázat, že $Y_{2}$ je souvislý, má stejný počet hran jako $Y_{1}$ a celková váha hran není vyšší než u $Y_{1}$. $Y_{2}$ je tudíž minimální kostra grafu $P$ a obsahuje $e$ a všechny hrany přidané předtím při konstrukci $V$. Opakováním těchto kroků nakonec zjistíme, že minimální kostra grafu $P$ je identická s $Y$. Tímto jsme tedy dokázali, že $Y$ je minimální kostra grafu.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Prim's algorithm na anglické Wikipedii.

Literatura

• V. Jarník: O jistém problému minimálním, Práce Moravské Přírodovědecké Společnosti, 6, 1930, pp. 57-63.
• R. C. Prim: Shortest connection networks and some generalisations. In: Bell System Technical Journal, 36 (1957), pp. 1389–1401 (anglicky)
• D. Cherition and R. E. Tarjan: Finding minimum spanning trees. In: SIAM Journal of Computing, 5 (Dec. 1976), pp. 724–741 (anglicky)
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 23.2: The algorithms of Kruskal and Prim, pp.567–574. (anglicky)

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Jarníkův algoritmus na Wikimedia Commons
• Problém minimální kostry grafu: Jarníkův algoritmus
• Animovaný příklad Jarníkova algoritmu
• Jarníkův algoritmus (Java Applet)