Jacobiho matice (třídiagonální)

Jacobiho matice je reálná symetrická třídiagonální matice s kladnými prvky na horní a dolní sekundární diagonále.

Definice

Reálnou čtvercovou matici řádu $k$ ve tvaru

${\boldsymbol {J}}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}&\beta _{2}&&&\\\beta _{2}&\alpha _{2}&\beta _{3}&&\\&\beta _{3}&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\ddots &\beta _{k}\\&&&\beta _{k}&\alpha _{k}\end{pmatrix}},\qquad \beta _{i}>0,\quad i=2,\ldots ,k,$

nazýváme Jacobiho maticí. Speciálním (triviálním) případem je Jacobiho matice ${\boldsymbol {J}}=(\alpha _{1})$, $k=1$. Jacobiho matice mají řadu specifických vlastností.

Spektrální vlastnosti

Vlastní čísla

Vlastní čísla Jacobiho matic mají násobnost jedna. Stačí si uvědomit, že pro libovolné číslo $\lambda$ jsou druhý až poslední řádek v matici ${\boldsymbol {J}}_{k}-\lambda \mathbf {I}$ lineárně nezávislé:

${\begin{pmatrix}\beta _{2}&\alpha _{2}-\lambda &\beta _{3}&&\\&\beta _{3}&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\ddots &\beta _{k}\\&&&\beta _{k}&\alpha _{k}-\lambda \end{pmatrix}}$

Odtud plyne, že $\operatorname {rank} ({\boldsymbol {J}}-\lambda \mathbf {I} )\geq k-1$. Protože matice je symetrická, odpovídá její hodnost počtu nenulových vlastních čísel (včetně násobností). Každé vlastní číslo $\lambda$ má tudíž násobnost jedna.

Protože matice je symetrická, vlastní čísla jsou navíc reálná a můžeme je seřadit

$\lambda _{1}({\boldsymbol {J}})<\lambda _{2}({\boldsymbol {J}})<\cdots <\lambda _{k}({\boldsymbol {J}}).$

Označíme-li ${\boldsymbol {J}}'$ vedoucí hlavní podmatici matice ${\boldsymbol {J}}$ řádu $k-1$, neboli

${\boldsymbol {J}}=\left({\begin{array}{c|c}{\boldsymbol {J}}'&\left.{\begin{array}{c}0\\\vdots \\0\\\beta _{k}\end{array}}\right.\\\hline \left.{\begin{array}{cccc}0&\cdots &0&\beta _{k}\end{array}}\right.&\alpha _{k}\end{array}}\right)$,

pak ${\boldsymbol {J}}'$ je také Jacobiho matice. Vlastní čísla těchto dvou „po sobě jdoucích“ Jacobiho matic ${\boldsymbol {J}}$ a ${\boldsymbol {J}}'$ se striktně prokládají

$\lambda _{1}({\boldsymbol {J}})<\lambda _{1}({\boldsymbol {J}}')<\lambda _{2}({\boldsymbol {J}})<\lambda _{2}({\boldsymbol {J}}')<\cdots <\lambda _{k-1}({\boldsymbol {J}}')<\lambda _{k}({\boldsymbol {J}})$.

Charakteristické polynomy dvou po sobě jdoucích Jacobiho matic nemají žádný společný kořen. To lze dokázat sporem; rozvojem determinantu $\det({\boldsymbol {J}}_{k}-\lambda \mathbf {I} )$ podle posledního řádku a indukcí podle rozměru matice.

Mimo jiné také platí, že Jacobiho matice ${\boldsymbol {J}}$ a ${\boldsymbol {J}}'$nemohou být obě singulární.

Vlastní vektory

Jsou-li $\lambda ,{\boldsymbol {v}}$ vlastní číslo a jemu příslušný vlastní vektor Jacobiho matice ${\boldsymbol {J}}$, kde

${\boldsymbol {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3},\ldots ,v_{k})^{\mathrm {T} },\qquad \|{\boldsymbol {v}}\|\neq 0,$

pak

• první prvek vlastního vektoru je nenulový, $v_{1}\neq 0$,
• poslední prvek vlastního vektoru je nenulový, $v_{k}\neq 0$,
• libovolný dvouprvkový podvektor $(v_{\ell },v_{\ell +1})$, $\ell =1,\ldots ,k-1$, je nenulový.

Všechna tři tvrzení lze dokázat sporem, prostým porovnáním prvků vektorů na obou stranách rovnosti

${\begin{pmatrix}\alpha _{1}&\beta _{2}&&&\\\beta _{2}&\alpha _{2}&\beta _{3}&&\\&\beta _{3}&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\ddots &\beta _{k}\\&&&\beta _{k}&\alpha _{k}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{k}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{k}\end{pmatrix}}\lambda$.

Z předpokladu $v_{1}=0$ a porovnání prvních prvků

$\alpha _{1}v_{1}+\beta _{2}v_{2}=v_{1}\lambda$

plyne $v_{2}=0$ (neboť $\beta _{2}>0$). Indukcí pak vyplývá $v_{1}=v_{2}=\ldots =v_{k}=0$, což je ve sporu s $\|{\boldsymbol {v}}\|\neq 0$.

Užití k výpočtu vlastních čísel symetrických a hermitovských matic

Pro každou reálnou symetrickou matici ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{k\times k}$, ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$, existuje ortogonální matice ${\boldsymbol {G}}\in \mathbb {R} ^{k\times k}$, ${\boldsymbol {G}}^{-1}={\boldsymbol {G}}^{\mathrm {T} }$, taková, že

${\boldsymbol {GAG}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {J}}_{\oplus },\qquad {\text{kde}}\qquad {\boldsymbol {J}}_{\oplus }=\left({\begin{array}{cccc}{\boldsymbol {J}}_{1}\\&{\boldsymbol {J}}_{2}\\&&\ddots \\&&&{\boldsymbol {J}}_{s}\end{array}}\right),\quad {\boldsymbol {J}}_{\ell }\in \mathbb {R} ^{k_{\ell }\times k_{\ell }},\quad \sum _{\ell =1}^{s}k_{\ell }=k$

a kde ${\boldsymbol {J}}_{\ell }$ jsou Jacobiho matice. Matici ${\boldsymbol {G}}$ lze přitom zkonstruovat v konečném čase, tj. pomocí konečného počtu elementárních aritmetických operací (sčítání, odečítání, násobení, dělení a výpočtu druhé odmocniny).

Obdobně pro každou hermitovskou matici ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{k\times k}$, ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$, existuje unitární matice ${\boldsymbol {G}}\in \mathbb {C} ^{k\times k}$, ${\boldsymbol {G}}^{-1}={\boldsymbol {G}}^{\mathrm {H} }$ taková, že

${\boldsymbol {GAG}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {J}}_{\oplus }$

je stejná matice jako v předchozím případě. Speciálně je matice ${\boldsymbol {J}}_{\oplus }$ reálná symetrická i v případě komplexní hermitovské matice ${\boldsymbol {A}}$.

Vlastnosti matice ${\boldsymbol {J}}_{\oplus }$

Matice ${\boldsymbol {J}}_{\oplus }$ je stále třídiagonální, obecně však už není Jacobiho maticí, protože prvky bezprostředně nad diagonálou nebo bezprostředně pod ní mohou být nulové. Transformační matici ${\boldsymbol {G}}$ lze vždy zvolit tak, že

$k_{1}\geq k_{2}\geq \cdots \geq k_{s}\qquad {\text{a}}\qquad \operatorname {sp} {\boldsymbol {J}}_{1}\supseteq \operatorname {sp} {\boldsymbol {J}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq \operatorname {sp} {\boldsymbol {J}}_{s}$,

kde $\operatorname {sp} {\boldsymbol {M}}$ značí spektrum matice ${\boldsymbol {M}}$. Jacobiho matice ${\boldsymbol {J}}_{1}$ obsahuje všechna vlastní čísla původní matice ${\boldsymbol {A}}$, přičemž každé jen jednou, jak plyne z vlastností Jacobiho matic. Číslo $s$ je dimenzí největšího vlastního podprostoru (eigenspace), tj. $s$ je největší násobností některého z vlastních čísel matice ${\boldsymbol {A}}$.

Konstrukce matice ${\boldsymbol {G}}$ v konečném čase

Význam Jacobiho matic spočívá v možnosti spočítat ortogonální, resp. unitární matice ${\boldsymbol {G}}$ v konečném čase. Přestože je diagonalizovatelnost matice ${\boldsymbol {A}}$ vždy zaručena, protože symetrické, resp. hermitovské matice jsou normální a proto ortogonálně, resp. unitárně diagonalizovatelné, tato diagonalizace však obecně není proveditelná v konečném čase. Např. už jen z toho důvodu, že vlastní čísla coby kořeny charakteristického polynomu nemusí být možné vyjádřit v radikálech pro polynomy stupně alespoň 5 (viz též základní věta algebry).

Význam třídiagonalizace lze spatřovat v provedení dílčího výpočtu při hledání vlastních čísel symetrické, resp. hermitovské matice

${\boldsymbol {A}}\;\longmapsto \;{\boldsymbol {J}}_{\oplus }\;\longmapsto \;{\boldsymbol {D}}=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}),$

který lze provést v přesné aritmetice v konečném čase. Následná diagonalizace třídiagonální matice ${\boldsymbol {J}}_{\oplus }$však obecně vyžaduje iterační algoritmus s limitní konvergencí, typicky některou z variant QR algoritmu.

Matice ${\boldsymbol {G}}$ a ${\boldsymbol {J}}_{\oplus }$ lze zkonstruovat např. pomocí dobře známého Lanczosova algoritmu (Lanczosovy tridiagonalizace).

Souvislosti

Jacobiho matice hrají klíčovou v řadě teoretických i praktických aplikací

• řetězově zlomky,
• ortogonální polynomy,
• Gaussova kvadratura,
• Lanczosův algoritmus,
• (částečný) problém vlastních čísel (symetrických matic),
• metoda sdružených gradientů.

Literatura

• DUINTJER TEBBENS, Erik Jurjen; HNĚTYNKOVÁ, Iveta; PLEŠINGER, Martin; STRAKOŠ, Zdeněk; TICHÝ, Petr. Analýza metod pro maticové výpočty: Základní metody. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2012. xvi+308 s. ISBN 978-80-7378-201-6.