Imaginární jednotka

Jako imaginární jednotka se v matematice označuje číslo značené $\mathrm {i}$ (někdy též $\mathrm {j}$ nebo 𝕚), které rozšiřuje obor reálných čísel ℝ na obor čísel komplexních ℂ. Po tomto rozšíření existuje řešení libovolné polynomiální rovnice f(x) = 0.

Imaginární jednotka na číselné ose.

V reálných číslech některé takové rovnice řešení nemají, konkrétně např. rovnice x² + 1 = 0. Pokud je k množině reálných čísel přidán nový prvek $\mathrm {i}$, který tuto rovnici řeší, algebraickým uzávěrem takto vzniklé množiny je právě množina komplexních čísel, ve kterých má řešení už každá polynomiální rovnice.

V oboru elektrotechniky je často imaginární jednotka označována jako $\mathrm {j}$ místo $\mathrm {i}$, protože $\mathrm {i}$ se běžně používá pro označení okamžité hodnoty elektrického proudu.

Definice

Podle definice imaginární jednotka $\mathrm {i}$ je řešením rovnice

x² = −1

Operace s reálnými čísly lze rozšířit na imaginární a komplexní čísla tak, že při manipulaci s výrazem zacházíme s $\mathrm {i}$ jako s neznámou veličinou a použijeme tuto definici k tomu, abychom nahradili všechny výskyty $\mathrm {i} ^{2}$ číslem −1.

i a −i

Výše uvedená rovnice má ve skutečnosti dvě různá řešení která jsou aditivně inverzní. Přesněji, pokud řekneme, že řešením rovnice je $\mathrm {i}$, je také řešením této rovnice $-\mathrm {i}$   $(\neq \mathrm {i} )$. Protože výše uvedená rovnice je jedinou definicí $\mathrm {i}$, je zřejmé, že tato definice je nejednoznačná. Tuto nejednoznačnost odstraníme tak, že vybereme a zafixujeme jako řešení výše uvedené rovnice „pozitivní $\mathrm {i}$“.

Upozornění

Imaginární jednotka se někdy zapisuje jako ${\sqrt {-1}}$, ale je třeba dát pozor při manipulaci s těmito odmocninami. Při aplikaci pravidel platících pro odmocniny z kladných reálných čísel na celý obor reálných čísel můžeme dostat špatný výsledek :

$-1=\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} ={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$

Kalkulační pravidlo

${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$

je v oboru reálných čísel platné, pokud a ≥ 0 nebo b ≥ 0. Nemůžeme ho tedy použít, pokud jsou obě čísla záporná. Můžeme ho však použít pro výpočet odmocniny ze záporného čísla, např. druhou odmocninu z čísla -4 vypočteme jako:

${\sqrt {-4}}={\sqrt {4\cdot (-1)}}={\sqrt {4}}\cdot {\sqrt {-1}}=2\mathrm {i}$

Abychom se vyhnuli chybám při manipulaci s komplexními čísly, je lépe nepoužívat záporná čísla pod odmocninou.

Mocniny i

Mocniny $\mathrm {i}$ se cyklicky opakují:

$\mathrm {i} ^{0}=1$

$\mathrm {i} ^{1}=\mathrm {i}$

$\mathrm {i} ^{2}=-1$

$\mathrm {i} ^{3}=-\mathrm {i}$

$\mathrm {i} ^{4}=1$

$\mathrm {i} ^{5}=\mathrm {i}$

$\mathrm {i} ^{6}=-1$

To lze vyjádřit matematickým vzorcem, kde n je libovolné celé číslo:

$\mathrm {i} ^{4n}=1$

$\mathrm {i} ^{4n+1}=\mathrm {i}$

$\mathrm {i} ^{4n+2}=-1$

$\mathrm {i} ^{4n+3}=-\mathrm {i}$

i a Eulerův vzorec

Vezmeme Eulerův vzorec $e^{\mathrm {i} x}=\cos x+\mathrm {i} \sin x$, a dosazením $\pi /2$ za $x$ dostaneme

$e^{\mathrm {i} \pi /2}=\mathrm {i}$

Jestliže obě strany umocníme na $\mathrm {i}$, a využijeme $\mathrm {i} ^{2}=-1$, získáme následující rovnost:

$\mathrm {i} ^{\mathrm {i} }=e^{-\pi /2}=0{,}207\,875\,763\dots$

Ve skutečnosti je snadné určit, že $\mathrm {i} ^{\mathrm {i} }$ má nekonečný počet řešení ve tvaru

$\mathrm {i} ^{\mathrm {i} }=e^{-\pi /2+2\pi N}$

Z Eulerova vzorce lze dosazením $\pi$ za $x$ odvodit Eulerovu identitu

$e^{\mathrm {i} \pi }+1=0$.

V Gaussově rovině imaginární jednotku představuje číslo [0;1].

Každé komplexní číslo lze zapsat (v tzv. algebraickém tvaru) ve tvaru $a+\mathrm {i} b$, kde $a$ a $b$ jsou reálná čísla.

Odkazy

Související články

• Komplexní číslo
• Komplexní jednotka
• Hyperkomplexní číslo

Externí odkazy

• Imaginární jednotka v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Portály: Matematika