Heronův vzorec

vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v eukleidovské rovině) pomocí délek jeho stran.

Pokud 3 kladná čísla splňují trojúhelníkovou nerovnost, existuje v eukleidovské rovině (podle věty sss) až na polohu a orientaci jediný trojúhelník s těmito délkami stran. Takže je jednoznačně určen i jeho obsah a je tedy funkcí stran. Ta musí být obecně symetrická a kvadraticky homogenní a H. v. ukazuje, jak přesně vypadá.

Vzorec editovat

Jsou-li   délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah

 

kde   je poloviční obvod trojúhelníku.

Důkaz editovat

Heronův vzorec lze odvodit již na základní škole, spočívá na Pýthagorově větě.  

Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro pravoúhlý trojúhelník na obrázku platí:

 

 

Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:

 

Z tohoto vztahu vyjádříme x:

 

Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:

 

 

 

 

 

Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku

 

dostaneme

 

Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:

 

 

 

Dosadíme poloviční obvod s,

 

a dostáváme výsledný vzorec:

 

 

 

Historie editovat

Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v první polovině 1. století.[1]

Poznámky editovat

Kratší důkaz je možný pomocí kosinové věty.

Díky trojúhelníkové nerovnosti jsou všechny činitele odmocněnce H. v. kladné.

Jedná se asi o nejsložitější matematický vzorec základní školy.

Heronův vzorec je limitním případem Brahmaguptova vzorce pro obsah tětivového čtyřúhelníku.

Reference editovat

Související články editovat

Externí odkazy editovat