Eulerova konstanta

Eulerova konstanta nebo též Eulerova–Mascheroniho konstanta je matematická konstanta používaná v teorii čísel a v analýze. O této konstantě není známo, zda je racionální, či iracionální.

Eulerova konstanta je přibližně 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 92 … .

Definice

Nejsnadněji lze tuto konstantu definovat jako následující limitu:

$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{n}}-\ln n\right)$

Je obecně známo, že harmonická řada vyskytující se v limitě je řadou divergentní, má tedy nekonečný součet. To, že výše uvedená limita je vlastní, naznačuje skutečnost, že pro velká $n$ je možné částečný součet harmonické řady aproximovat až na Eulerovu konstantu přirozeným logaritmem.

Geometrická představa

Obsah modré plochy se rovná Eulerově konstantě

Hodnotu konstanty $\gamma$ si lze představit i geometricky. U grafů funkci

$f(x)={\frac {1}{\lfloor x\rfloor }},$

$g(x)={\frac {1}{x}},$

kde $\lfloor x\rfloor$ značí (dolní) celou část čísla $x$, je obsah plochy mezi těmito dvěma grafy pro x od 1 do nekonečna právě roven Eulerově konstantě $\gamma$:

$\gamma =\int _{1}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}-{\frac {1}{x}}\right)dx.$

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Eulerova konstanta na Wikimedia Commons
• Eulerova konstanta v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Autoritní data	NKC: ph301323 GND: 4227778-4