Duální kód

Duální kód daného lineárního kódu

$C\subset \mathbb {F} _{q}^{n}$

je lineární kód definovaný jako

$C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}\mid \langle x,c\rangle =0\;\forall c\in C\},$

kde

$\langle x,c\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}{c_{i}}^{p}$

a p je charakteristikou konečného pole F_q. Z hlediska pojmů lineární algebry je duální kód anihilátorem C vzhledem k bilineární formě <,>. Součet dimenze kódu C a dimenze jeho duálu je vždy roven n:

$\dim C+\dim C^{\perp }=n.$

Duální kód duálního kódu tvoří vždy původní kód.

Samoduální kódy

Samoduální kód je takový kód, který je duální sám k sobě. Z toho vyplývá, že n musí být sudé a dim C = n/2. Samoduální kódy je možno rozdělit na čtyři typy:

• Typ I – binární samoduální kódy, jejichž kódová slova mají sudou Hammingovu váhu, ale nikoliv dělitelnou čtyřmi
• Typ II – binární samoduální kódy, jejichž kódová slova mají Hammingovu váhu dělitelnou čtyřmi
• Typ III – ternární samoduální kódy, jejichž kódová slova mají Hammingovu váhu dělitelnou třemi
• Typ IV – samoduální kódy nad F₄, jejichž kódová slova mají sudou Hammingovu váhu

Kódy typu I, II, III, respektive IV existují pouze v případě, že je délka n násobkem 2, 8, 4, respektive 2.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Dual code na anglické Wikipedii.