Diracova notace

Diracova notace (nebo také Diracova symbolika) je způsob zápisu vektorů běžně používaný v kvantové mechanice a kvantové teorii pole. Jde o zápis vektorů v Hilbertově prostoru, který zavedl P.A.M. Dirac. Symbolika je též známá jako braketová.

Definice

Vektor a je označován symbolem $|a\rangle$. Protože jsme v prostoru se skalárním součinem $(\cdot ,\cdot )$, je dobře definován duální vektor $\mathbf {a} ^{*}=(\mathbf {a} ,\cdot )$ a značí se $\langle a|$. Vektory se nazývají ket-vektory a duální vektory bra-vektory. Jde o slovní hříčku, protože akce bra-vektoru $\langle a|$ na ket-vektor $|b\rangle$ je podle definice jejich skalární součin $\langle a|b\rangle =(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$, což se anglicky říká bracket (závorka) (obvykle uvažujeme komplexní prostory a od skalárního součinu očekáváme linearitu v b a anti-linearitu v a). Pokud souřadnice vektoru $|a\rangle$ jsou v nějaké ortonormální bázi

$|a\rangle ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}},$

pak souřadnice vektoru $\langle a|$ v duální bázi jsou $\langle a|=(a_{1}^{*},a_{2}^{*},\cdots ,a_{n}^{*})$ (* označuje komplexní sdružení). Za daných předpokladů můžeme také říct, že $\langle a|$ je hermiteovsky sdružený vektor k $|a\rangle$.

Použití

Diracova symbolika je výhodná proto, že je možné zapsat operátor, jeho vlastní čísla a vektory pomocí jednoho symbolu, např.

${\hat {L}}|L\rangle =L|L\rangle$,

kde ${\hat {L}}$ je operátor, $L$ představuje jeho vlastní číslo a $|L\rangle$ jeho vlastní vektor.

V případě diskrétních vlastních hodnot má předchozí vztah tvar

${\hat {L}}|L_{n}\rangle =L_{n}|L_{n}\rangle =L_{n}|n\rangle$

Pro hermiteovský operátor ${\hat {A}}$, tzn. ${\hat {A}}^{+}={\hat {A}}$, pro který platí

${\hat {A}}|f\rangle =|g\rangle$

pak také platí

$\langle g|={(|g\rangle )}^{+}={({\hat {A}}|f\rangle )}^{+}={(|f\rangle )}^{+}{\hat {A}}^{+}=\langle f|{\hat {A}}$

Hermiteovské operátory tedy působí na ket-vektory zleva a na bra-vektory zprava a tyto akce jsou stejné (ve smyslu ztotožnění vektorů a duálů).

Mnoho formulí z lineární algebry se dá v Diracově notaci zapsat velmi přehledně. Například operátor ortogonální projekce na prostor, který má ortonormální bázi $|e_{1}\rangle ,\ldots ,|e_{k}\rangle$ se dá napsat jako $\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|$ (součin ket-vektoru a bra-vektoru je lineární operátor).

Odkazy

Související články

• Vektor
• Hilbertův prostor
• Operátor

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Diracova notace na Wikimedia Commons
• Diracova notace v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Portály: Matematika