Banachův prostor

Banachovy prostory jsou normované lineární prostory, které jsou navíc úplné. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání funkcionální analýzy. Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha, který je studoval.

Definice

Banachovým prostorem rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je vektorový prostor $V$ nad tělesem reálných nebo komplexních čísel s normou $\|\cdot \|$, ve kterém má každá cauchyovská posloupnost v indukované metrice $d(x,y)=\|x-y\|$ vlastní limitu.

Příklady

• Prostory $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {C} ^{n}$ (všechny n-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {C} ^{n}$ eukleidovskou normou

$\|x\|:={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}$,

pro $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$, budou dokonce Hilbertovy.

• Prostor všech spojitých funkcí $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ opatřený normou

$\|f\|_{\infty }:=\max _{t\in [a,b]}|f(t)|$

je Banachův.

• Vybavíme-li předchozí prostor normou

$\|f\|_{1}:=\int _{a}^{b}|f(t)|dt$ nebo $\|f\|_{2}:={\sqrt {\int _{a}^{b}|f(t)|^{2}dt}}$,

Banachův již nebude.

• Jestliže X je normovaný lineární prostor a Y je Banachův prostor, potom prostor všech omezených lineárních operátorů z X do Y s normou

$\|A\|:=\sup\{\|Ax\|:x\in X,\|x\|\leq 1\}$

je Banachův prostor. Speciálně duální prostor X* k prostoru X je vždy Banachův, neboť v takovém případě $Y=\mathbb {C}$.

Související články

• Hilbertův prostor
• Lebesgueovy prostory

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Banachův prostor na Wikimedia Commons

Autoritní data	NKC: ph117384 PSH: 7662 LCCN: sh85011441 NDL: 00560500 NLI: 987007282589705171