600nadstěn

V geometrii je šestisetnadstěn (což je volný překlad anglického 600-cell), nebo také hexakosichoron platónské těleso ve čtyřrozměrném prostoru. Bývá považován za čtyřrozměrnou analogii dvacetistěnu.

600nadstěn
Typ	Pravidelný polychoron
Nadstěn	600 (3.3.3)
Stěn	1200 {3}
Hran	720
Vrcholů	120
Uspořádání vrcholů	20 (3.3.3) (dvacetistěn)
Schläfliho symbol	{3,3,5}
Grupa symetrie	grupa [3,3,5]
Duální těleso	120nadstěn
Vlastnosti	konvexní

3povrch 600nadstěnu je tvořen ze 600 nadstěn majících tvar čtyřstěnu. V jednom vrcholu se potkává 20 nadstěn. 600nadstěn má 1 200 trojúhelníkových stěn, 720 hran a 120 vrcholů. Duálním tělesem je 120nadstěn.

Objem, povrch a další parametry

Následující vzorce udávají, jaký je objem 600nadstěnu, a jeho k-rozměrné povrchy (což je vždy obsah k-rozměrné stěny krát počet těchto stěn) v závislosti na hraně a.

$S_{1D}$ je tedy délka všech hran kostry 600nadstěnu.

$V_{4D}={\frac {25}{4}}\left(2+{\sqrt {5}}\right)a^{4}$

$S_{3D}=50{\sqrt {2}}\ a^{3}$

$S_{2D}=300{\sqrt {3}}\ a^{2}$

$S_{1D}=720\ a\,$

Poloměr vepsané koule je

$\rho ={\frac {\left(2+{\sqrt {5}}\right)}{2{\sqrt {2}}}}a$

a poloměr koule opsané je

$r={\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{2}}a$

Kartézská soustava souřadnic

Je-li délka hrany 1/φ (kde φ = (1+√5)/2 je zlatý řez), pak 120 vrcholů 600nadstěnu má následující souřadnice:

(±½,±½,±½,±½), (všechny kombinace znamének ⇒ 16 vrcholů)

(0,0,0,±1) (permutace přes všechny souřadnice ⇒ 8 vrcholů)

½(±1,±φ,±1/φ,0) (sudé permutace ⇒ 96 vrcholů).

Přitom zjevně prvních 16 vrcholů jsou vrcholy teseraktu, následujících 8 vrcholů tvoří vrcholy 16nadstěnu prvních 16+8 vrcholů tvoří dohromady vrcholy 24nadstěnu.

Pokud tyto čtveřice souřadnic interpretujeme jako kvaterniony, potom 120 vrcholů 600nadstěnu tvoří uzavřenou konečnou grupu, která je izomorfní grupě SL(2,5).

Vícerozměrná geometrická tělesa
d=2	trojúhelník	čtverec	šestiúhelník	pětiúhelník
d=3	tetraedr	krychle, oktaedr	krychloktaedr, kosočtverečný dvanáctistěn	dvanáctistěn, dvacetistěn
d=4	5nadstěn	teserakt, 16nadstěn	24nadstěn	120nadstěn, 600nadstěn
d=5	5simplex	penterakt, 5ortoplex
d=6	6simplex	hexerakt, 6ortoplex
d=7	7simplex	hepterakt, 7ortoplex
d=8	8simplex	okterakt, 8ortoplex
d=9	9simplex	ennerakt, 9ortoplex
d=10	10simplex	dekerakt, 10ortoplex
d=11	11simplex	hendekerakt, 11ortoplex
d=12	12simplex	dodekerakt, 12ortoplex
d=13	13simplex	triskaidekerakt, 13ortoplex
d=14	14simplex	tetradekerakt, 14ortoplex
d=15	15simplex	pentadekerakt, 15ortoplex
d=16	16simplex	hexadekerakt, 16ortoplex
d=17	17simplex	heptadekerakt, 17ortoplex
d=18	18simplex	oktadekerakt, 18ortoplex
d=19	19simplex	ennedekerakt, 19ortoplex
d=20	20simplex	ikosarakt, 20ortoplex

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu 600nadstěn na Wikimedia Commons

• HyperSolids je open source program pro Macintosh (Mac OS X a vyšší).